Alice Yasası ve Relativite Teorisi

Bölüm 7

(c+v)(c-v) Matematiği Üzerine

Han Erim

8 Ekim 2011

(c+v)(c-v) matematiği üzerine:

Elektromanyetik teoride yapılan çok önemli bir hata elektromanyetik teoriyi eksik bırakmıştır. Aynı hata, relativite teorisinin de yanlış bir temel üzerine inşa edilmesine neden olmuştur. Relativite teorisi ve elektromanyetik teori özünde birbirinden farklı teoriler değildir. Her ikisi de elektromanyetik etkileşimin sonuçlarıyla ilgili teorilerdir. Her ikisinin de temelinde (c+v)(c-v) matematiği vardır. Bu yazının amacı yapılan bu hatayı size göstermektir.

13 Ekim 2011’de eklendi.

(c+v)(c-v) Matematiğinin Tanımı:

“(c+v)(c-v) Matematiği” bir adlandırmadır. Ad içindeki (c+v)(c-v) bir çarpım değildir. Bu matematik “c±v Matematiği” şeklinde de adlandırılabilir.

Birbirlerine göre hareketli frame’lerde, bir ışık sinyalinin hızı için elde edilecek değerler, ölçümün hangi frame’den yapıldığına bağlı olarak farklılık gösterir. (c+v)(c-v) matematiği bu farklılığın niçin ve neden kaynaklandığını açıklar. İfade içindeki v değeri, ışık sinyalinin hızının c değerinden sapma miktarıdır. (c, ışık hızı sabitidir.)

“(c+v)(c-v) Matematiği” ışığın hızının relative olduğunu ortaya koyan matematiktir.

Alice Yasası’nın (c+v)(c-v) matematiği ile elektromanyetik teoride bugün kullanılan matematik gerçekte birbirinden farklı matematikler değildir. Elektromanyetik teoriye ait matematik bugün için yalnızca birbirine göre durağan olan frame’ler arasındaki elektromanyetik etkileşimi açıklamakta ve formülize etmektedir. Bu da (c+v)(c-v) matematiğinde v = 0 durumuna karşılık gelir. Bunun haricinde özel bir durumu daha kapsar ki onu da ilerleyen kısımda göreceğiz.

(c+v)(c-v) matematiği; birbirine göre durağan veya hareket eden frame’ler arasındaki elektromanyetik etkileşimlerin tümünü kapsadığı için (v ≠ 0) elektromanyetik teorinin matematiğini eksiksiz bir şekilde temsil eder. Elektromanyetik teorinin gerçek matematiği (c+v)(c-v) matematiğidir.

Elektromanyetik teorinin formülasyonunda genel olarak birbirine göre durağan frame’ler arasındaki etkileşim temel alınmış ve matematiksel eşitlikler bu duruma göre üretilmiştir. Işığın hızının bütün referans sistemlerine göre c olduğu varsayımına dayanılarak, birbirine göre hareketli frame’ler için farklı bir formülasyon düşünülmemiştir. Elektromanyetik teorinin bu eksikliği, hareketli frame’lere uygulandığında pratikte tutarsızlıklara ve sapmalara sebebiyet verir.

Elektromanyetik teori için (c+v)(c-v) matematiğinin elde edilmesi

Albert Einstein’ın relativite teorisini inşa ederken yararlandığı örneğin aynısını kullanıyorum:

X ekseni üzerinde, A Frame’ine göre hareket halinde olan bir B Frame’i düşünelim ve A Frame’inden B Frame’ine doğru bir ışık sinyali gönderiyoruz. A Frame’inin bulunduğu koordinatı O noktası olarak, B Frame’inin bulunduğu koordinatı P noktası olarak işaretleyelim. (Animated Figure 1)

Konuya bir soruyla giriş yapıyoruz: Eğer size, “B Frame’ine göre ışık sinyali O noktasından mı yayınlanmıştır?” diye sorsam, cevabınız büyük bir olasılıkla evet olacaktır. İşte yanlışın kaynağı hemen buradadır.

Burada doğru cevabı bulabilmek için olayı tersine çevirip o şekilde düşünmek gerekir. Yani A Frame’ini temel alarak değil, B Frame’ini temel alarak düşünmek lazımdır. Örneği bir fizik olayı hâline dönüştürelim:

A ve B Frame’leri birbirine göre hareket halinde olan iki referans sistemidir. B Frame’inde bulunan bir gözlemcinin kendi frame’ini durağan kabul edebileceğini ve kendisine göre A Frame’ini hareketli varsayabileceğini zaten biliyorsunuz. Hangisinin hareket halinde olduğu önemli değildir.

Buradan hareketle, kendi gözlem noktamızı B Frame’ine taşıyalım ve aynı olayı bu kez B Frame’inden inceleyelim. Bu durumda B Frame’i hareketsiz olacak ve A Frame’i, B Frame’ine göre hareket halinde olacaktır. A Frame’i O noktasındayken sinyali gönderiyor. A Frame’i hareketli olduğu için sinyal B Frame’ine vardığı anda, A Frame’i O noktasında değil O′ gibi bir başka nokta üzerinde olacaktır. (Animated Figure 2)

Aynı soruyu burada tekrar soruyoruz: “B Frame’ine göre ışık sinyali O noktasından mı yayınlanmıştır?” Evet, buradaki örnekte sinyal B Frame’ine göre kesinlikle O noktasından yayınlanmıştır.

Ama dikkat edelim ki, sinyalin varma anında A Frame’inin yeri, yukarıdaki birinci figürde olduğu gibi O noktasının bulunduğu yerde değil, O′ noktasındadır. O noktasının yeri O′ ve P noktalarının arasında bir yerde kalmıştır. Sinyalin varma anını dikkate alarak Figür 1 ve 2’yi karşılaştırdığımızda, figürler arasındaki bu farklılığı açıkça görüyoruz.

Burada şunu sormak gerekir: B Frame’ine göre, yukarıdaki birinci figür mü doğrudur, yoksa buradaki ikinci figür mü? Doğru olan elbette ki buradaki ikinci figürdür. 1. figür, B Frame’i açısından olayın nasıl geliştiğini gösterememektedir.

İkinci figürü temel alarak, sinyalin B Frame’ine varma zamanını hesaplayalım. OP mesafesini c’ye böldüğümüz taktirde sinyalin varma süresini buluruz. Sinyalin O noktasından B Frame’ine doğru c hızıyla geleceğini zaten biliyoruz. Sinyalin B Frame’ine göre hızı c olmak zorundadır. t = OP / c olacaktır.

Ancak burada dikkat etmemiz gereken iki önemli detay vardır:

1) B Frame’indeki gözlemci sinyal kendisine vardığında, A Frame’ini O′ noktasında değil, O noktasında görecektir, çünkü sinyal kendisine O′ noktasından değil O noktasından gelmiştir. Sinyalin varma anında A Frame’i O noktasında olmadığına göre, B Frame’indeki gözlemcinin O noktasında gördüğü şey A Frame’inin kendisi değil, onun imaj görüntüsüdür (Ghost). (Bakınız GHOST and SPRING. Alice Yasası tarafından gündeme getirilen “Ghost and Spring” konusu ileride elektromanyetik teoride önemli bir yer tutacaktır.)

2) Görüyoruz ki, B Frame’ine göre A Frame’inin hareket halinde olması veya durması ya da kendisinin hareket halinde olması veya olmaması önemli değildir. B Frame’i için olay sanki durağan bir frame’de geçiyor gibi sonuçlanmaktadır. Dolayısıyla günümüzde kullanılan elektromanyetik teoriye ait eşitlikler B Frame’i için yanlış vermez. Yukarıda bahsettiğim özel durum budur. (Burada B Frame’i, bir sinyalin varış hedefindeki frame’i temsil etmektedir.)

Işığın varacağı hedef üzerinde bulunularak ölçüm yapılması, (c+v)(c-v) matematiğinin varlığını ortaya çıkarmaz.

Şimdi frame B üzerindeki konumumuzu koruyarak, sinyalin A Frame’ine göre hızını hesaplayalım. B Frame’ine göre A Frame’i sinyali O noktasında göndererek uzaklaşmaktadır. Sinyalin varma anına kadar geçen süre zarfında, A Frame’i O noktasından O′ noktasına gelmektedir. Yukarıdaki birinci figürdeki OP′ mesafesi ile ikinci figürdeki O′P mesafeleri birbirine eşittir. Bu bilgiden yararlanarak A Frame’i için sinyalin hızını hesaplayabiliriz.

Her iki frame için sinyalin varma süresi değişmeyecektir. A Frame’ine göre sinyal O′P mesafesini gene aynı t süresince kat edeceğine göre ve c = OP / t olduğuna göre, sinyalin daha uzun olan O′P mesafesini c′ = O′P / t hızıyla kat etmesi gerekir. Burada c′ > c olur. c′ değerini hesaplayalım:

c′ = O′O / t + OP / t    c′ = v·t / t + c·t / t    c′ = c + v

Her iki frame birbirinden uzaklaştığı için, sinyalin A Frame’ine göre hızı için burada c+v elde ettik; birbirlerine yaklaşıyor olsalardı A Frame’ine göre sinyalin hızı için c′ = c - v elde ederdik. Böylelikle elektromanyetik teori için (c+v)(c-v) matematiğini elde etmiş olduk.

• B Frame’ine göre sinyalin hızı c’dir.
• A Frame’ine göre sinyalin hızı c+v’dir.

Burada c = ışık hızı sabiti, v ise her iki frame’in birbirine göre olan hızıdır (v değerinin tam açıklamasını bu bölümün sonunda bulacaksınız).

Günümüzde kullanılan elektromanyetik teoriye ait eşitliklerde bir ışık sinyalinin hızı c kabul edildiğinden dolayı, elektromanyetik teorinin eşitlikleri yalnızca B Frame’i için geçerlidir. Birbirine göre hareketli frame’lerde, A Frame’i temel alınarak yapılan hesaplamalar ise hatalı sonuç verir.

 Eğer (c+v)(c-v) matematiğinin varlığını gözlemlemek istiyorsak, sinyalin hızının ölçülmesi sinyali gönderen taraftan, yani A Frame’inden yapılmalıdır.

 Elektromanyetik teorinin içindeki bu hata veya eksiklik sebebiyle, Albert Einstein sinyalin hem A Frame’ine göre hem de B Frame’ine göre c hızı ile gideceğini kabul etmek zorunda kalmıştır. Elektromanyetik teorinin temelindeki bu eksiklik, hem elektromanyetik teoride büyük bir eksiklik bırakmış hem de relativite teorisini gitmemesi gereken yerlere sürüklemiştir.

Buradaki örnekte açıkça görüyoruz ki, sinyal için belirleyici olan yalnızca B Frame’idir. Sinyal A Frame’inden bağımsız olarak B Frame’ine göre c hızı ile gitmektedir. A Frame’inin veya B Frame’inin hızı ne olursa olsun bu durum değişmemektedir. Sinyal B Frame’ine göre c hızıyla, A Frame’ine göre ise (c+v) hızıyla gider.

Alan kullanımının (c+v)(c-v) matematiğindeki önemi

A Frame’i temel alınarak yapılan mantıksal muhakemelerde yukarıdaki Figür 1, olduğu haliyle kullanıldığı taktirde (c+v)(c-v) matematiğinin ne şekilde gerçekleştiğini gösteremez.

Eğer sinyalin yayınlandığı taraftan, yani A Frame’inden olayı incelememiz gerekiyorsa alan kavramından yararlanmamız gerekir. Sinyalin varma hedefindeki B Frame’ine bir alan eklemek ve sinyalin bu alanın içinde c hızıyla gideceğini düşünmek, doğru sonuca ulaşmak için yeterlidir.

Alan kullanmamız, B Frame’inin hareketli olmasına rağmen durağan bir frame olarak düşünebilmemizi ve Figür 2’deki sonuçları kolay ve doğru bir şekilde elde etmemizi sağlar. Aşağıdaki gösterimde A Frame’ine göre sinyalin (c+v) hızıyla gideceği açıkça ifade edilir. (Animated Figure 3)

Not: Figürlerde noktalara verilen adlar figüre özeldir. Figürleri kıyaslarken buna dikkat ediniz.

Aşağıdaki Animated Figure 4, (c+v)(c-v) matematiğini analiz etmek amacıyla hazırlanmıştır. Frame’lerin birbirlerine göre olan pozisyonları, hareket yönleri ve hızları, kırmızı renkli kontrol noktaları vasıtasıyla herhangi bir durum için set edilebilmektedir.

Animasyon, sinyalin yayınlanma anından varma anına kadar olan süre içinde, her iki frame açısından olayın nasıl gerçekleştiğini göstermektedir. Slider kontrolünü kullanarak gerçekleşen olayı bir bütün hâlinde incelemek mümkündür.

Animated Figure 4’ün açıklaması

Görüldüğü gibi sinyal B Frame’ine doğru giderken her iki frame de hareket yönleri doğrultusunda ilerlemektedir. Sinyalin gidiş doğrultusunu her iki frame için görebiliyoruz.

Sinyal A Frame’ine göre FrameA Q doğrultusunda gitmektedir. FrameA Q doğrusu, O′P′ doğrusuna paraleldir. B Frame’ine göre ise sinyal G FrameB doğrultusunda gitmektedir.

Q ve G noktalarının her ikisi de relative noktalardır. Q noktası A Frame’ine göre tanımlıdır. G noktası ise B Frame’ine göre tanımlı olan bir noktadır.

B Frame’indeki gözlemci, sinyal kendisine vardığında A Frame’inin imajını (Ghost), G noktasında görecektir. G noktası, sinyalin alana giriş yaptığı noktadır. G FrameB mesafesi OP mesafesine eşittir. Sinyalin varma anında Spring (A Frame’i), B Frame’ine göre O′ noktasındadır.

Figür 2’de gördüğümüz üzere, sinyalin varış süresi t = OP / c’dir ve bu süre her iki frame için değişmez. t süresi, frame’lerin hareket yönleri üzerindeki O′ ve P′ noktalarının yerlerini de belirler.

A Frame’inin hızına V₁ ve B Frame’inin hızına V₂ dersek:

OO′ = V₁ · t

PP′ = V₂ · t

Varma süresi t dikkate alınarak sinyalin hızı her bir frame için aşağıdaki şekilde hesaplanır:

A Frame’ine göre sinyalin hızı c′ = O′P′ / t

B Frame’ine göre sinyalin hızı c = OP / t’dir.

 Figürde, merkezi O′ noktası olan, yarıçapı OP mesafesine eşit olan ve S ve R noktalarından geçen bir çember görüyoruz. Yani OP = O′R = O′S’dir. P′ noktasının çemberin içinde kalıp kalmaması, (c+v)(c-v) matematiğinin ne şekilde gerçekleştiğini bize göstermektedir. Eğer:

P′ noktası çember içinde kalmış ise (c - v) gerçekleşmiştir. O′S > O′P′ (OP > O′P′ durumu)

P′ noktası çember dışında kalmış ise (c + v) gerçekleşmiştir. O′S < O′P′ (OP < O′P′ durumu)

S ve P′ noktalarını birleştiren sarı renkli ok, A Frame’ine göre sinyalin c hızından ne kadar saptığını gösteren ölçüdür. Yani (c+v)(c-v) ifadesindeki v değerinin büyüklüğünü temsil etmektedir. v değerinin büyüklüğü, varma süresinin yardımıyla v = SP′ / t eşitliğinden hesaplanır. Okun yönü O′ noktasına doğru ise (OP > O′P′) v değeri eksi işareti alır, dışarı doğru ise (OP < O′P′) v değeri artı işaret alır.

A Frame’ine göre sinyalin hızı:

O′S < O′P′ ise c′ = O′P′ / t c′ = O′S / t + SP′ / t c′ = c·t / t + v·t / t c′ = c + v

O′S > O′P′ ise c′ = O′P′ / t c′ = O′S / t - SP′ / t c′ = c·t / t - v·t / t c′ = c - v

Yukarıdaki eşitliklerden yararlanarak (c+v)(c-v) matematiği için OP / O′P′ = c / (c ± v) eşitliğini yazabiliriz. Çok önemli bir eşitlik olması dolayısıyla ona Alice Eşitliği adını veriyorum.

 (c+v)(c-v) matematiği dinamik bir matematiktir. Buradaki örnekte tek bir sinyalin durumu ele alınmıştır. Sürekli hareketler ele alındığında, frame’lerin hareketleri O ve P noktalarının yerlerini değiştirir ve buna bağlı olarak OP, OO′,

PP′ ve O′P′ mesafeleri sürekli olarak değişir.

Dolayısıyla (c+v)(c-v) matematiğinde frame’lerin her yeni konumu için hesaplamanın yeniden yapılması gerekir.