(Publicado por primera vez dentro del programa de física de la Ley de Alice Versión 5. Noviembre de 2005.)
Actualizado para la web.
Con la aparición del tema de los Principios de la Energía, vuelvo a publicar aquí mi trabajo sobre E=mc² en la forma en que fue presentado en la Ley de Alice Versión 5. Ha sido retraducido con el fin de ofrecerlo en un lenguaje más claro y adecuado.
Animated Figure 1 – Consideremos una base montada sobre un vagón y una esfera colocada sobre ella. Si la base está paralela al suelo, la esfera permanecerá sobre la base mientras el tren esté quieto; cuando el tren comience a moverse, la esfera caerá.
Imaginemos ahora que, cuando el tren empieza a moverse, una persona intenta evitar que la esfera caiga modificando la inclinación de la base. El cambio de inclinación de la base transmite la fuerza de empuje del locomotor a la esfera, y de este modo la esfera puede mantenerse sobre la base.
A partir de los ejemplos anteriores, voy a explicar qué significa realmente E=mc².
Comencemos escribiendo las fuerzas que actúan sobre la esfera.
La primera fuerza es la fuerza gravitatoria en la dirección del eje Y. Lo que necesitamos es expresar la energía potencial producida por la fuerza de gravedad. La forma de calcular la magnitud de la energía potencial generada por una fuerza fue explicada en el apartado «Energía Potencial».
Utilizamos el Principio de las Fuerzas. Si interpretamos la energía potencial resultante en función de la fuerza de gravedad, nuestra flecha será VG (hacia abajo). Si la interpretamos en función de la fuerza de empuje, será VP (hacia arriba). Tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas. Aquí VG y VP representan las magnitudes de la energía potencial (aceleración) asociada a la fuerza gravitatoria.
La segunda fuerza que actúa sobre la esfera es la fuerza de empuje del locomotor en la dirección del eje X. Ahora escribamos la energía potencial que genera esta fuerza.
Calculamos la magnitud de la energía potencial debida a la fuerza de empuje de manera similar. De acuerdo con el Principio de las Fuerzas, definimos la fuerza de empuje del locomotor tanto como a como g.
Si interpretamos la fuerza de empuje del locomotor como fuerza de empuje, nuestra flecha será VP; si la interpretamos como fuerza gravitatoria, será VG. También en este caso VG y VP representan la magnitud de la energía potencial asociada a la fuerza de empuje.
A la izquierda vemos juntas las energías potenciales correspondientes a ambas fuerzas: la fuerza gravitatoria y la fuerza de empuje del locomotor.
En la figura, la inclinación de la base está equilibrada de acuerdo con las fuerzas actuantes. Por ello, aunque la base esté inclinada, la esfera no cae. Si cambiamos la inclinación de la base o las energías potenciales, el equilibrio se rompe.
Utilizando los botones de la derecha, te invito a cambiar las fuerzas o la inclinación de la base para hacer que la esfera se mueva. Si no consigues mantener la esfera sobre la base, explotará. Puedes pulsar Reset y volver a intentarlo.
En nuestro ejemplo, la magnitud de la fuerza de gravedad no cambia; por tanto, la única fuerza variable es la fuerza de empuje del locomotor.
Mientras la persona consiga mantener la dirección de la fuerza resultante perpendicular a la base, podrá evitar que la esfera caiga de la base. Para cada valor de la fuerza de empuje del locomotor existe un cierto ángulo de inclinación de la base.
De este modo hemos definido las energías potenciales que actúan sobre la esfera.
Ahora escribamos las energías cinéticas de la esfera.
Animated Figure 6 – Empecemos con la energía cinética en la dirección del empuje. Mientras la fuerza de empuje continúe, la energía cinética de la esfera en la dirección del eje X aumentará en función de la aceleración del tren.
Si el empuje cesa, la energía cinética dejará de aumentar; y mientras no se ejerza una fuerza en sentido contrario, tampoco disminuirá.
Como vimos en el apartado «Energía Potencial», el incremento de la energía cinética de la esfera en la dirección del eje X seguirá el mismo patrón que la aceleración del tren.
Ahora debemos escribir también la energía cinética sobre el eje Y. Hagamos una pregunta para entender si la esfera posee energía cinética en el eje Y.
Si la Tierra sobre la que vivimos desapareciera de repente, ¿nos quedaríamos donde estamos o saldríamos despedidos hacia el espacio?
Utilizando la información del apartado «Principio de las Fuerzas», concluimos que seríamos lanzados hacia el espacio, y que nuestra velocidad en ese momento estaría determinada por la energía potencial que tenemos sobre el eje Y.
Puesto que sabemos que el valor de la fuerza asociada a la energía potencial es igual a g, calculamos la energía cinética en el eje Y y la magnitud de su vector tal como se muestra en la figura. La dirección del vector es hacia arriba.
De esta manera hemos definido las energías cinéticas y potenciales de la esfera en ambos ejes. En la figura, las flechas azules representan las energías cinéticas, y las amarillas y verdes representan las energías potenciales.
La energía total de la esfera está determinada por la suma vectorial de los vectores resultantes de sus energías potencial y cinética. (Animated Figure 8)
Hasta este punto, en nuestros ejemplos, la persona en el vagón intentaba evitar que la esfera se cayera. A partir de ahora consideremos lo contrario: la persona incrementa poco a poco la inclinación de la base, y tú intentas mantener la esfera sobre ella variando la fuerza de empuje del locomotor.
Para llegar a la igualdad E=mc², suponemos que el locomotor tiene una fuerza de empuje infinita.
En la animación siguiente, el control del locomotor es tuyo. Mientras la persona aumenta la inclinación de la base, tú tratarás de evitar que la esfera caiga. Puedes ajustar la fuerza de empuje del locomotor deslizando el control correspondiente. Si dejas caer la esfera, pulsa Reset y Play para volver a intentarlo.
En la animación anterior, a medida que tratas de mantener la esfera sobre la base, se observa que los vectores resultantes de la energía cinética y potencial se hacen cada vez mayores.
Para un objeto que posee la energía E=mc², las magnitudes de los vectores resultantes de sus energías potencial y cinética alcanzan el valor c, y ambos vectores apuntan en la misma dirección.
Para darte una idea, quiero mostrar qué tipo de efecto actúa sobre un objeto que posee la energía E=mc². Como sabes, en la Tierra la magnitud de la aceleración de la gravedad que actúa sobre nosotros es g = 9,81 m/s².
Imaginemos ahora una fuerza gravitatoria de magnitud enorme. Calculemos la energía potencial de un objeto que posee la energía E=mc². La fuerza gravitatoria que actúa sobre el objeto generará su energía potencial.
Un objeto situado sobre la superficie de un cuerpo celeste con una aceleración gravitatoria tan enorme tendrá una energía E=mc².
Porque Alice asciende junto con ese cuerpo celeste con velocidad c. Por lo tanto, su energía cinética es Ek = ½mc². Al mismo tiempo, Alice está sometida a una fuerza de empuje, por lo que su energía potencial es Ep = ½mc².
La energía total de Alice es la suma de ambas energías. Como las dos tienen la misma dirección, la energía de Alice es E=mc².
La Ley de Alice es el futuro de la física.
Apréndela y cuéntasela a los demás.