Sayı Tabanları, Sayılar

ve

Matematiğin Sağ Yönü

Han Erim

7 Kasım 2015

Matematikte Sağ Yön, sayı tabanlarının farklı bir yorumudur. Bu yorumda 1 tabanına ait 1 sayısı en büyük sayıdır. Tabanlara ait sayı elemanların değerleri sayı/taban kuralına göre oluşur.

Sağ Yön sayı tabanları ve sayıları bu çalışmayla birlikte tanımlanmış ve bir temel kazanmıştır.

Matematiğin Sol Yönü

Matematikte Sağ Yön diye bir tanım yaptığımız zaman, doğal olarak öncelikle matematikte Sol Yön'ün ne anlama geldiğini açıklamak gerekir. Sol Yön, sayı tabanlarının halen kullandığımız şekildeki normal dizilimini temsil eder. Aşağıdaki tablo sayıların Sol Yön içindeki dizilimini göstermektedir. Normal olarak sayı tabanlarını ve sayıları bu klasik tabloda gördüğümüz şekilde ele alır ve kullanırız.

Bildiğimiz gibi, gündelik hayatımızda 10 sayı tabanını kullanıyoruz. 10 Sayı tabanı 10 elemandan (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) oluşur. Bunun yanı sıra Binary (2 tabanı) ve Hexadecimal (16 Tabanı) gibi bazı sayı tabanları özellikle programlamada ve matematiksel hesaplamalarda sıklıkla kullanılan sayı tabanlarıdır.

Herhangi bir sayı herhangi bir tabana göre yazılabilir. Örneğin "127" sayısının bazı sayı tabanlarına göre yazılımı şu şekildedir:

Binary (Taban 2)	111 1111
Octal (Taban 8)	177
Decimal (Ondalık taban)	127
Hexadecimal (Taban 16)	7F
Taban 4	1333
Taban 23	5C

Bir sayının tabanına göre açılım kuralı aşağı gibidir:

Örneklerde 127 sayısının 10 ve 4 tabanına göre açılımları gösterilmiştir.

1 TABANI

Sol Yönde hiç kullanılmasa da, Sağ Yön için 1 Tabanı son derece önemlidir. 1 Tabanı tek bir elemandan oluşur, ancak onu ifade edebilmek için ikinci bir yardımcı sayıya da ihtiyaç duyulur. Bunun için 0 sayısı kullanılır. 1 Tabanındaki sayılar iki türlü gösterilebilir.

Sayı Değeri	1. Gösterim Şekli	2. Gösterim Şekli
1	1	10
2	11	100
3	111	1000
4	1111	10000

Tabloda görüldüğü üzere 1. gösterim şeklinde sayı değeri kadar 1'i arka arkaya yazıyoruz.

2. gösterim şeklinde ise sayı değeri kadar 0'ı ard arda ekliyor ve başına 1 ekliyoruz.

Bu çalışmada her iki gösterim şekli de kullanılmıştır. Mesela yukarıdaki ana tabloda, tabloya uyum açısından ikinci gösterim şekli tercih edilmiştir.

Bir sayı tabanının elemanı olan sayılar her zaman taban değerinden daha küçük değerlere sahiptirler. Örneğin 2 tabanı (0,1), 6 tabanı (0,1,2,3,4,5), Hexadecimal adındaki 16 tabanı (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) elemanlardan oluşur.

Ancak mecburiyetten ötürü ve bir istisna olarak, 1 tabanında hem sayı değerinde hem de taban değerinde 1 kullanılır. Yani; 1 tabanında 1₁ , 10₁, 111₁ gibi gösterimler yapılır.

Matematiksel hesaplamalar için kullanışsız olması sebebiyle 1 sayı tabanı Sol Yönde kullanılmaz. Ancak gene de bu sayı tabanını kullanarak hesaplama yapılabilir.

Örnek olarak 3 + 2 = 5 işlemi 1 tabanında şu şekilde olur:

1. Gösterim şekline göre: 111₁ + 11₁ = 11111₁

2. Gösterim şekline göre: 1000₁ + 100₁ = 100000₁

SAĞ YÖN SAYI TABANLARININ ELDE EDİLMESİ

Aşağıdaki karşılaştırmalı tablo, Sol Yön ve Sağ Yön sayı tabanları arasındaki farkı göstermektedir.

(Tablodaki değerler, sayı yazım kuralları göz ardı edilerek ondalık sisteme göre düzenlenmiştir.)

Görüldüğü gibi Sağ Yön sayıları 1₁ = 2×1₂ = 3×1₃ = 4×1₄ ... = (n-1)×1_n-1 = n×1_n kuralı ile şekillenmektedir.

Aşağıda, yukarıdaki tablonun sayı yazım kuralına uygun hazırlanmış hali gösterilmektedir. Geometrik bir yorum da eklenerek, sayılar taşıdıkları değer ölçüsünde düşey yönde konumlandırılmıştır.

Sağ Yön tablosu içinde bütün sayılar 1₁ sayısının uzunluğu içinde kalır.

1 Uzunluğu Tanımı:

Sağ Yön sayı tabanları tablosunda, 1 tabanındaki 1₁ sayısını temsil eden ve aynı zamanda 0-1 sayı aralığını gösteren uzunluğa 1 Uzunluğu adı verilir.

Sağ Yön Sayılarının 1 Uzunluğu Üzerindeki Konumu ve Sayısal Değeri:

Sağ Yönde bir sayı, içerdiği değer oranında 1 Uzunluğu üzerinde yeri değişmeyen bir noktada ve sayıDeğeri/taban ölçüsünde konumlanır.

Örneğin, Taban 6'ya ait 2 sayısı 1 Uzunluğu'nun 0,333... noktasında, Taban 8'e ait 3 sayısı ise 0,375 noktasındadır. Konum noktası aynı zamanda sayının gerçek sayısal değeridir.

(Aynı sayıların Sol Yöndeki karşılıkları: 2₆ = 2 ve 3₈ = 3 şeklindedir.)

Aşağıdaki tabloda Sol Yön ve Sağ Yön sayılarının ana karakterlerini karşılaştırmalı olarak görebiliriz:

SOL YÖN SAYILARI	SAĞ YÖN SAYILARI
1₁ = 1₂ = 1₃ = ... = 1_n a_b = a_c = a_d = a 10₁ < 10₂ < 10₃ ... < 10_n	1₁ > 1₂ > 1₃ ... > 1_n a_b = a/b, a_c = a/c, a_d = a/d 10₁ = 10₂ = 10₃ ... = 10_n
Burada a, b, c, d, n tam sayılardır.

Sağ Yön Sayılarının Kesirli Gösterimi

Sağ Yönde sayı elemanlarının payda değerlerine kendi taban değerleri yazılarak kesirli gösterim şekli elde edilir.

Aşağıdaki tabloda Sağ Yön Sayı Tabanlarının doğal ve kesirli olmak üzere iki farklı gösterim şekli görülmektedir.

Kesirli gösterimde pay ve payda kolaylık amacıyla Ondalık sayı sistemi kullanılır. Ancak sayı yazım kuralına uygun olarak da gösterilebilir.

Sağ Yön sayılarının Doğal Gösterimi: 2₆, 8₁₃, 58₆₆, ...

Sağ Yön sayılarının Kesirli Gösterimi: 2/6, 8/13, 58/66, ...

Sol Yön ve Sağ Yön Arasındaki Bağlantı

Her iki yön arasında bir köprü oluşturmak amacıyla, Sol Yöndeki 1 sayı tabanına ait 1₁ sayısı ile Sağ Yöndeki 1 sayı tabanına ait 1₁ sayısının birbirine eşit olduğu kabul edilir.

Dolayısıyla Sağ Yön'ün 1 Uzunluğu, Sol Yöndeki 1 sayısına eşittir.

Bir Sayının Sol Yön ve Sağ Yön Bileşenleri

Bir sayının bire eşit ve birden büyük değeri sayının Sol Yön bileşenidir; birden küçük olan değerleri ise Sağ Yön bileşenidir.

Örneğin 19,375 sayısında:

Virgülün solunda kalan 19 tam sayısı Sol Yön bileşenidir: 19₁₀ (Sol Yön)

Virgülün sağında kalan 0,375 değeri ise Sağ Yön bileşenidir.

0,375 = 3/8 olduğundan, Sağ Yön'de 3₈ olarak ifade edilir.

Sonuç:

19,375 = 19₁₀ (Sol Yön) + 3₈ (Sağ Yön)

Başka örnekler:

2,333... = 2 + 0,333... = 2 + 1/3 = 2₁₀ (Sol Yön) + 1₃ (Sağ Yön)

8,5 = 8 + 0,5 = 8 + 1/2 = 8₁₀ (Sol Yön) + 1₂ (Sağ Yön)

İrrasyonel Sayılarda Sağ Yön Gösterimi

İrrasyonel sayılarda Sağ Yön kesrindeki pay ve payda değerleri sonsuza uzanır.

Bu nedenle, kesirler yaklaşık değerlerle ifade edilir.

Karekök 2 ≈ 1 + 0,4142 ≈ 1 + 6625109/15994428

Yani:

Karekök 2 ≈ 1₁₀ (Sol Yön) + 6625109_15994428 (Sağ Yön)

Benzer şekilde:

π ≈ 3 + 0,1415 ≈ 3 + 29629644/209259755

π ≈ 3₁₀ (Sol Yön) + 29629644_209259755 (Sağ Yön)

Sonuç olarak, 0-1 aralığındaki tüm sayılar Sağ Yön sayılarıdır. Bir sayının değeri, Sol Yön bileşeni ile Sağ Yön bileşeninin toplamından oluşur.

Sağ Yön sayı tabanları ve sayıları üzerine son birkaç cümle

Sağ Yön, araştırılması gereken kapsamlı bir konudur. İlginç yapısı dolayısıyla, Sağ Yön sayı tabanları ve sayıları kullanılarak değişik algoritmalar ve çözümler üretmenin mümkün olduğunu düşünüyorum.

Eğer matematikçiler bu konunun üzerinde çalışırlarsa, çok ilginç bulgulara ulaşacaklardır.

Sağ Yön matematiğinin benim için en güzel sonucu, Alice Yasası adını verdiğim fizik konusundaki çalışmama beni ulaştırmasıdır.

Okuduğunuz için teşekkür ederim.

Han Erim

Link