Системы счисления, числа

и

Правое направление математики

Han Erim

7 ноября 2015

Правое направление в математике — это альтернативная интерпретация систем счисления. В этой интерпретации число 1, принадлежащее основанию 1, является наибольшим числом. Значения числовых элементов, принадлежащих основаниям, формируются согласно правилу число/основание.

Системы счисления и числа правого направления были определены в рамках данной работы и получили основу.

Левое направление математики

Когда мы вводим понятие правого направления в математике, естественно необходимо сначала объяснить, что означает левое направление. Левое направление представляет собой нормальное расположение систем счисления в том виде, в котором мы их используем сейчас. Таблица ниже показывает расположение чисел в левом направлении. Обычно мы рассматриваем и используем системы счисления и числа в классическом виде, как показано в этой таблице.

Как известно, в повседневной жизни мы используем десятичную систему счисления (основание 10). Основание 10 состоит из 10 элементов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Кроме того, такие системы счисления, как Binary (основание 2) и Hexadecimal (основание 16), часто используются в программировании и математических вычислениях.

Любое число можно записать в любой системе счисления. Например, запись числа "127" в некоторых системах счисления выглядит так:

Binary (Основание 2)	111 1111
Octal (Основание 8)	177
Decimal (Основание 10)	127
Hexadecimal (Основание 16)	7F
Основание 4	1333
Основание 23	5C

Правило разложения числа по основанию выглядит следующим образом:

В примерах показаны разложения числа 127 по основаниям 10 и 4.

ОСНОВАНИЕ 1

Хотя в левом направлении оно вовсе не используется, основание 1 имеет крайне важное значение для правого направления. Основание 1 состоит из одного элемента, однако для его выражения требуется второе вспомогательное число. Для этого используется число 0. Числа в основании 1 можно представлять двумя способами.

Значение числа	1-й способ записи	2-й способ записи
1	1	10
2	11	100
3	111	1000
4	1111	10000

Как видно из таблицы, при 1-м способе записи мы записываем единицы подряд в количестве, равном значению числа.

При 2-м способе записи мы приписываем нули подряд в количестве, равном значению числа, и ставим в начале единицу.

В данной работе используются оба способа записи. Например, в основной таблице выше, для согласованности с таблицей был выбран второй способ.

Числа, являющиеся элементами системы счисления, всегда имеют значения, меньшие значения основания. Например, основание 2 состоит из (0,1), основание 6 — из (0,1,2,3,4,5), а основание 16, называемое Hexadecimal, состоит из элементов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Однако по необходимости и как исключение, в основании 1 цифра 1 используется и как значение числа, и как значение основания. То есть в основании 1 применяются записи 1₁, 10₁, 111₁ и т.п.

Поскольку основание 1 неудобно для математических вычислений, оно не используется в левом направлении. Однако вычисления всё же можно выполнять, используя это основание.

В качестве примера операция 3 + 2 = 5 в основании 1 выглядит так:

По 1-му способу записи: 111₁ + 11₁ = 11111₁

По 2-му способу записи: 1000₁ + 100₁ = 100000₁

ПОЛУЧЕНИЕ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ ПРАВОГО НАПРАВЛЕНИЯ

Сравнительная таблица ниже показывает различие между системами счисления левого и правого направлений.

(Значения в таблице приведены в десятичной системе без учета правил записи чисел.)

Как видно, числа правого направления формируются по правилу 1₁ = 2×1₂ = 3×1₃ = 4×1₄ ... = (n-1)×1_n-1 = n×1_n.

Ниже показан вариант приведённой выше таблицы, подготовленный в соответствии с правилами записи чисел. С добавлением геометрической интерпретации числа расположены по вертикали пропорционально значениям, которые они представляют.

В пределах таблицы правого направления все числа остаются внутри длины числа 1₁.

Определение длины 1:

В таблице систем счисления правого направления длина, представляющая число 1₁ в основании 1 и одновременно показывающая интервал 0–1, называется длиной 1.

Положение и числовое значение чисел правого направления на длине 1:

В правом направлении число располагается в фиксированной точке на длине 1 и размещается пропорционально отношению значениеЧисла/основание, в соответствии с содержащимся в нём значением.

Например, число 2 в основании 6 находится в точке 0,333... длины 1, а число 3 в основании 8 — в точке 0,375. Точка положения одновременно является истинным числовым значением числа.

(Соответствия тех же чисел в левом направлении: 2₆ = 2 и 3₈ = 3.)

В таблице ниже можно сравнительно наблюдать основные характеристики чисел левого и правого направлений:

ЧИСЛА ЛЕВОГО НАПРАВЛЕНИЯ	ЧИСЛА ПРАВОГО НАПРАВЛЕНИЯ
1₁ = 1₂ = 1₃ = ... = 1_n a_b = a_c = a_d = a 10₁ < 10₂ < 10₃ ... < 10_n	1₁ > 1₂ > 1₃ ... > 1_n a_b = a/b, a_c = a/c, a_d = a/d 10₁ = 10₂ = 10₃ ... = 10_n
Здесь a, b, c, d, n — целые числа.

Дробное представление чисел правого направления

В правом направлении дробное представление получается путём записи значений оснований в качестве знаменателей элементов числа.

В таблице ниже показаны два различных представления систем счисления правого направления: естественное и дробное.

В дробном представлении для удобства используется десятичная система для числителя и знаменателя. Однако представление также может быть выполнено в соответствии с правилами записи чисел.

Естественное представление чисел правого направления: 2₆, 8₁₃, 58₆₆, ...

Дробное представление чисел правого направления: 2/6, 8/13, 58/66, ...

Связь между левым и правым направлениями

Для построения моста между двумя направлениями принимается, что число 1₁, принадлежащее основанию 1 в левом направлении, равно числу 1₁, принадлежащему основанию 1 в правом направлении.

Следовательно, длина 1 правого направления равна числу 1 левого направления.

Левый и правый компоненты числа

Значение числа, равное единице или большее единицы, является левым компонентом числа; значения меньше единицы являются правым компонентом.

Например, для числа 19,375:

Целое число 19 слева от запятой является левым компонентом: 19₁₀ (левое направление)

Значение 0,375 справа от запятой является правым компонентом.

Поскольку 0,375 = 3/8, в правом направлении оно выражается как 3₈.

Результат:

19,375 = 19₁₀ (левое направление) + 3₈ (правое направление)

Другие примеры:

2,333... = 2 + 0,333... = 2 + 1/3 = 2₁₀ (левое направление) + 1₃ (правое направление)

8,5 = 8 + 0,5 = 8 + 1/2 = 8₁₀ (левое направление) + 1₂ (правое направление)

Представление правого направления для иррациональных чисел

В иррациональных числах значения числителя и знаменателя в дроби правого направления стремятся к бесконечности.

Поэтому дроби выражаются приближёнными значениями.

Квадратный корень из 2 ≈ 1 + 0,4142 ≈ 1 + 6625109/15994428

То есть:

Квадратный корень из 2 ≈ 1₁₀ (левое направление) + 6625109_15994428 (правое направление)

Аналогично:

π ≈ 3 + 0,1415 ≈ 3 + 29629644/209259755

π ≈ 3₁₀ (левое направление) + 29629644_209259755 (правое направление)

В итоге, все числа в интервале 0–1 являются числами правого направления. Значение числа состоит из суммы левого компонента и правого компонента.

Несколько заключительных слов о системах счисления и числах правого направления

Правое направление — это обширная тема, требующая исследования. Благодаря своей интересной структуре, я считаю возможным разрабатывать различные алгоритмы и решения, используя системы счисления и числа правого направления.

Если математики будут работать над этой темой, они смогут прийти к очень интересным результатам.

Самым ценным результатом математики правого направления для меня является то, что она привела меня к моей работе в области физики, которой я дал имя Закон Alice.

Благодарю вас за внимание.

Han Erim

Link