DOPPLER KAYMASI EŞİTLİKLERİNİN
MATEMATİKSEL OLARAK ELDE EDİLMESİ

Kasım 2018

Han Erim

Hiç bir elektromanyetik dalga, buna fotonları da dahil edebiliriz sıfır zamanda yayınlanmazlar. Yayınlanmak için mutlaka bir süreye ihtiyaç duyarlar. Elektromanyetik dalgalar ayrıca boyuta da sahiptirler. Bir elektromanyetik dalgayı tarif edebilmek için onun boyutunu yani onun dalgaboyunu kullanıyoruz. Elektromanyetik dalgaların bu iki özelliğinden yani yayınlanmak için süreye gerek duymalarından ve dalgaboylarından yararlanarak Doppler Kaymasının matematiksel temeline ulaşmak mümkündür. Buradaki bölümde bunun yöntemini size göstereceğim.

DOPPLER KAYMASI İÇİN EŞİTLİĞİNİN ELDE EDİLMESİ
ÇERÇEVELER BİRBİRİNDEN UZAKLAŞIYORLAR

Figürde görüldüğü bir uçak A ve B noktaları arasında iken bir elektromanyetik dalga yayınlıyor. A noktası dalganın yayınlanmaya başladığı konum ve B noktası dalganın yayınlanmasının sona erdiği konumdur. Gene figürde görüldüğü gibi uçak sinyal olarak tek bir dalgaboyu göndermiştir.

 

 

Figürde, özel bir Doppler Üçgeni kullanılmıştır. Uçağın yayınladığı sinyalin yayınlanma süresini "t₀" olarak kabul edelim. Bu t₀ süresini Doppler Üçgeninin kenar uzunluklarını belirlemede kullanacağız. 

Öncelikle gönderilen sinyalin normal dalgaboyunu hesaplayalım:


(!..) Figüre bakıp sinyal dalgaboyunun d₂ mesafesine eşit olacağını sanmayınız. Şöyle izah edeyim; elinize bir mıknatıs alıp bir saniyelik bir süre içinde mıknatısı vücudunuzun bir tarafından diğer bir tarafına doğru bir S çizerek taşıyın. Üretmiş olduğunuz elektromanyetik dalganın dalgaboyu üç yüz bin kilometre olacaktır.

Uçak sinyal olarak tek bir dalgaboyu gönderdiği için, Doppler Üçgeninde AO mesafesini yani d₁ uzunluğunu dalgaboyuna eşit olarak seçiyoruz.

Sinyal dalgaboyunun başlangıcının gözlemciye varma süresini hesaplayalım:

Sinyal sonunun gözlemciye varma süresini hesaplayalım:


Varma zamanları arasındaki farkı hesaplayalım:

Uçak ve gözlemci birbirine göre hareketsiz olsaydı gözlemci sinyal dalgaboyunun tamamını t₀ zamanda alırdı. Ama birbirlerine göre hareket halindedirler. Bu durumda gözlemci sinyal dalgaboyunun tamamını ne kadar zamanda almıştır? 

Yukarıdaki denklem gözlemciye gelen sinyal dalgaboyunun uzunluğunu vermektedir:

Bu ifadeyi aşağıdaki gibi de yazabiliriz:

Artık, Doppler Üçgeninin özelliklerinden yararlanarak eşitlikleri oluşturabiliriz.
Öncelikle OAB üçgeni için Doppler Üçgeni eşitliklerini yazalım (t_Δ= t₀):

d₁ ve d₃ uzunluklarını dalgaboylarıyla tekrar yazalım:

Yukarıdaki eşitlikleri taraf tarafa bölelim:

Buradan final sonuca erişiyoruz. Cisimler birbirinden uzaklaşırken, dalgaboyu üzerindeki değişimi bu eşitlik göstermektedir.

DOPPLER KAYMASI İÇİN EŞİTLİĞİNİN ELDE EDİLMESİ
ÇERÇEVELER BİRBİRİNE YAKLAŞIYORLAR

Buradaki hesaplamalar yukarıda (c+v) için yapılan hesaplamalar ile tamamen aynı şekilde gelişir. Benzerlik çok fazla olduğu için yazmaya gerek görmedim. Ancak, burada OB mesafesi değişmiştir. 
şeklinde olduğu için takip eden hesaplamalarda gerekli yerlerde artılar eksiler ile yer değiştirir.

İlerleyen kısımda gözlemciye gelen sinyal dalgaboyu şeklinde elde edilir. 
Doppler Üçgeninden yararlanılarak değerler yerine konulduğunda sonucu elde edilir.

Buradan da cisimler birbirlerine doğru yaklaşırken, dalgaboyu üzerindeki değişimi gösteren final sonuç elde edilir.

Relavistik Doppler Kayması Nedir?

Yeri gelmişken bu konuya da değinmek istedim. Relativite Teorisinin sonucu olarak, yapay olarak üretilerek fiziğin içine yerleştirilen ve kullanıla gelen bir çok eşitlik vardır. Relavistik Doppler eşitliği de bunlardan bir tanesidir. Relavistik Doppler hayal mahsulü ve gerçekle hiçbir alakası olmayan uydurma bir kavramdır. Alice Yasası Relativite Teorisiyle birlikte onun bir sonucu olan Relavistik Doppler kavramını da ortadan kaldırmıştır.