29. (C+V) (C-V) MATEMATİĞİNİN ÇEKİM KUVVETİ VE YÜK KUVVETLERİYLE OLAN

İLİŞKİSİ

(c+v)(c-v) matematiği doğadaki bir mekanizmanın varlığı konusunda çok önemli ipuçları vermektedir. Bu mekanizma ALAN mekanizmasıdır. Aşağıdaki iki eşitliğe bir bakalım.

"Hoppala.... bunlar da nereden çıktı, ne alaka. Birisi Evrensel Çekim Yasası diğeri statik elektrik yükleri arasındaki kuvveti tanımlayan Coulomb Yasası. Konumuz (c+v) (c-v) matematiği iken bunların burada ne işi var?" demeyiniz. Çünkü bu iki eşitliğin (c+v) (c-v) matematiği ile gerçekten çok yakın bir ilişkisi vardır.

Evrensel Çekim Kuvveti Yasası: İki cisim birbirlerine kütlelerinin çarpımıyla doğru, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı olarak kuvvet uygular.

Coulomb Yasası: Elektriksel yüke sahip iki cisim birbirlerine yüklerinin çarpımıyla doğru, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı olarak bir kuvvet uygular.

Her iki yasa (c+v)(c-v) matematiğinin nedenini açıklamak için yararlanabileceğimiz, bize yol gösteren çok ama çok önemli bazı bilgiler içermektedir. Şimdi bu bilgilere bir göz atalım. 

İlk bilgi şudur: Her iki denklem için de geçerli olmak üzere, iki cisim arasındaki veya iki elektriksel yük arasındaki mesafenin herhangi bir üst sınırını yoktur. Aradaki mesafenin bir santim, bir metre, binlerce kilometre, bir kaç ışık yılı veya milyonlarca ışık yılı olması bu eşitliklerde bir değişime bir sebebiyet vermemektedir.

İkinci bilgi, cisimlerin niteliklerinin bir önemi olmamasıdır. Ancak ve ancak şu sınıfa dahil cisimler birbirlerine kuvvet uygular şeklinde bir sınırlama yoktur. Evrensel Çekim Yasası için cisimlerin kütleye sahip olması, Coulomb Yasası için elektriksel yüke sahip olması kuvvetin oluşması için yeterlidir.

Üçüncü bilgi, bu kuvvetlerin belirli cisimler yerine evrensel olarak evrendeki cisimlerin tümüne eş zamanlı olarak uygulandığıdır. Yani, bir cisim bir başka cisme kuvvet uygularken aynı anda başka bir cisme kuvvet uygulayamaz şeklinde bir sınırlama yoktur. Dünya Ay'a çekim kuvveti uygularken, aynı zamanda Güneşe, Jüpiter'e Plüton'a, Andromeda Galaksisine veya Hubble teleskopuyla görebildiğimiz milyonlarca ışık yılı ötedeki bir gök cismine de kuvvet uygulamaktadır. Bu biraz genel bir örnek oldu, biraz daha özele inelim. Evrensel Çekim Yasası, bir atom kütle taşıması nedeniyle evrendeki bütün diğer atomlara nerede olursa olsunlar çekim kuvveti uygular demektedir. Coulomb Yasası, bir elektron yük taşıması nedeniyle evrendeki bütün diğer elektronlara ve protonlara nerede olursa olsunlar kuvvet uygular demektedir. Burada kuvvet uygulayan elektronun nötr bir atom içinde yer almasının hiç bir önemi yoktur. (Nötr Atom: Atomu oluşturan eksi yüklü elektronlar ile artı yüklü protonlar birbirleriyle eşleşmiş durumdadır ve bu sebeple atomun elektriksel yükü teorik olarak sıfırdır). Aslında ne kadar ilginç ve hayal gücümüzü olabildiğince zorlayan bir durum. Evinizde odanızın ışığını açıyorsunuz, bir telin içinde lambaya doğru elektronlar koşuşturmaya başlıyor ve bundan evrenin diğer ucundaki elektronların bir şekilde haberi oluyor. Kaç tane elektron koşuyor, hızları nedir hepsini biliyorlar! (veya bilecekler diyelim) . Masanızın üzerindeki bir bardağın yerini hafifçe değiştiriyorsunuz, bardağın yerinin değiştiği bilgisi evrendeki diğer cisimlerin hepsine bir şekilde ulaştırılıyor. Daha da garip bir şey söylemek isterim. Yer değiştirme bilgisinin diğer cisimlere ulaştırılmasının sıfır zamanda gerçekleşmesi gibi bir ihtimalde yok değildir. Bunu tartışma başlatmak için söylemedim, yalnızca eşitliklerin ne söylediğini anlatıyorum. Dikkat ederek her iki eşitlik de cisimlerin hızlarından bağımsızdırlar. Bir cisim yer değiştirdiği anda diğer cisimlerle arasındaki mesafeler değişecek ve bu sebeple kuvvet de değişecektir. Bu durumu kuvvetteki değişim sıfır zamanda gerçekleşir şeklinde yorumlayabiliriz. Dolayısıyla bu eşitlikler eğer kesin doğruluk taşıyor iseler, bir cismin yer değiştirme bilgisinin evrendeki tüm cisimlere sıfır zamanda ulaştırıldığı gibi sonuç da vardır. Eğer sıfır zamanda ulaştırılmıyor ise, bu taktirde eşitliklerin yazılımında bir eksiklik, ihmal edilmiş bir şey vardır anlamına gelir. Ve bu taktirde eşitlikler birbirine göre hareketsiz iki cisim arasında oluşan kuvveti doğru ifade eden ancak hareketli cisimler arasındaki kuvvetler için eksiklik taşıyan eşitlikler haline düşerler. Bu olmayacak bir şey değildir. Buna çok benzer bir örneği hatırlarsanız elektromanyetik dalga hızı denklemi için kullanılan c = f0.λ0 eşitliğinde görmüştük, doğru eşitliğin c = f0.λ1 olması gerekiyordu.

Dördüncü bilgi, bu kuvvetlerin engel tanımamaları ve maddenin içinden geçebilmeleridir. Basit bir örnekle izah edeyim. Dünya ay ile güneş arasına girdiğinde, güneşin aya uyguladığı çekim kuvveti değişmekte midir, Güneşin çekim kuvvetinin Ay'a ulaşmasına Dünya engel olmakta mıdır? Eğer böyle bir şey olsaydı, ayın yörüngesi değişirdi ve bunu tespit eder ve farkına varırdık. En azından çekim kuvveti açısından durum böyledir diyebilirim, yük kuvvetleri açısından ise durum biraz farklı olabiliyor sanırım, çünkü elektriksel yüklerin etki edemediği yalıtılmış alanlar elde edebiliyoruz.


Şimdi size çekim kuvvetinin hiçbir engel tanımadığını göstermek istiyorum. Bunun için, Evrensel Kütle Çekim Yasası eşitliğinde yer alan "m1.m2" çarpımının ne anlama geldiğini bir örnek ile açıklamak isterim. 


Elimizde birer kiloluk 5 adet gülle olsun. Bunlardan üçünü tanesini birbirine yapıştırarak m1 kütlesini ve diğer iki tanesini birbirine yapıştırarak m1 kütlesini elde edelim. Bu iki kütle arasındaki çekim kuvveti F=G. (3x2)/d2 olacaktır. m1.m2 = 3x2 = 6 eder. Öncelikle kütlelerin çarpım sonucu olarak elde ettiğimiz 6 sayısının anlamı nedir? bunu anlatmaya çalışacağım. Daha sonrada iki kütle arasındaki "d" mesafesine odaklanacağız.

Çekim Kuvvetini bulmak için kütle miktarlarını birbirleriyle çarparak sonuca ulaştık [1], ancak şimdi bu işi daha hassas bir şekilde yapalım: m1 kütlesini oluşturan her bir güllenin, m2 kütlesindeki her bir gülle ile olan çekim kuvvetini hesaplayalım [2] ve elde ettiğimiz sonuçları birbiriyle toplayalım ve çekim kuvvetini böyle bulalım [3].

                                           [1]

m1 kütlesi (A,B,C ) elemanlarından ve m2 kütlesi (D,E) elemanlarından oluşuyordu. Buradan hareketle ve mesafe için ortalama mesafeyi kullanırsak eşitlik aşağıdaki gibi oluşur.

       [2]

Aşağıda görüldüğü gibi elemanlar üzerinden hesapladığımız kuvvette de, m1.m2 kütle çarpımı için aynı sonucu elde ediyoruz. Buradaki örnekte elemanların kütleleri 1 birim idi.

            [3]

Gerçekte m1 ve m2 kütlelerinin kaç elemandan oluştuğunun veya elemanlara ait kütle değerlerinin ne olduğunun sonuç açısından bir önemi yoktur. Bunu göstermek amacıyla aşağıdaki tabloyu hazırladım. Tabloda m1 kütlesinin 19 birim ve m2 kütlesinin 9 birim olduğu varsayılmıştır. m1 ve m2'yi oluşturan elemanlara ise rastgele kütle değerleri atanmıştır. "m1.m2" çarpımı 19x9=171 sonucunu verir. Tabloda görüldüğü gibi elemanların birbiriyle çarpımlarının toplamı da 171'e eşittir. (Sarı bölgede yer alan rakamların toplamı)


m1 kütlesi = 19 Birim, 9 Eleman
ABCDEFGHI
1,34,51,561,961,92,621,242,361,56

m2 kütlesi = 9 Birim, 6 Eleman
JKLMNO 
1,10,81,81,40,53,4 

m1 . m2 = 9 × 19 = 171

  JKLMNO 
  A1,431,042,341,820,654,42
  B4,953,68,16,32,2515,3
  C1,7161,2482,8082,1840,785,304
  D2,1561,5683,5282,7440,986,664
  E2,091,523,422,660,956,46
  F2,8822,0964,7163,6681,318,908
  G1,3640,9922,2321,7360,624,216
  H2,5961,8884,2483,3041,188,024
  I1,7161,2482,8082,1840,785,304
SARI RENKLİ ALANDAKİ SAYILARIN TOPLAMI = 171

Tablodan anlaşılacağı üzere, Çekim Kuvveti veya Elektriksel Yük Kuvveti açısından önemli olan, bir cisme ait elemanların diğer cisimdeki elemanlara uyguladığı kuvvetlerin toplamıdır. Sonuç kuvvet bu toplamın üzerinden oluşur. Doğanın işleyiş mekanizması bu şekildedir.

Madde atomlardan oluşmaktadır. Dolayısıyla, bir kütleyi oluşturan elemanlar atomlardır. (Daha alt seviyeye de inebiliriz, madde atomu oluşturan parçacıklardan oluşur bile diyebiliriz, ama biz burada atom ölçeğinde kalalım). Dünyanın kabaca 1.33*1050 atomdan Ay'ın ise kabaca 1.33*1048 atomdan oluştuğunu varsayarsak ve dünyadaki her bir atomun, Ay'daki her bir atoma çekim kuvveti uyguladığını düşünürsek doğanın ne kadar çılgınca işler yaptığını görebiliriz. Kaldı ki rakamlar bu sadece dünya ve ay içindir. Evrenin yaklaşık 1081 atomdan oluştuğu tahmin edilmektedir. Buna göre her bir atomun aynı anda 1081 atoma kuvvet uygulamakta olduğu sonucu ortaya çıkar.


Şimdi de aradaki mesafe konusuna odaklanalım. Elemanlar arasındaki kuvveti gösterirken yukarıda ortalama mesafeyi kullanmıştım [4]. Açıktır ki, gerçek sonucu elemanlar arasındaki mesafeler kullanılarak hesaplanan kuvvet verecektir [5].

        [4]

          [5]

Çekim Kuvveti denkleminde cisimlerin kütle merkezleri arasındaki mesafe referans noktası olarak alınmıştır [6].

                                 [6]

Elemanlarla yapılan hesaplamada ise mesafeler çok daha hassas bir şekilde dikkate alınacağı için eşitliğin doğruluğu o derece artacaktır. Peki ama, her iki hesaplama için mesafeler dikkate alındığında, elde edilen sonuçlar arasında bir fark var mıdır, varsa bu fark ne kadardır?

Bu sorunun cevabını bulmak için özel bir program yazdım. Programda her kütle için 9000 noktayı eleman olarak kullanarak gerekli hesaplamaları yaptım. Hesaplamada elemanın kütleleri bir birim olarak kabul edilmiştir. Sonucu aşağıdaki tabloda görebilirsiniz.




m1 9000 Birim
m2 9000 Birim

İşlem sayısı

 81000000

Not: Evrensel çekim sabiti (G) sabit çarpan olduğu için hesaplamalara dahil edilmemiştir. 

 

Hesaplanan Çekim Kuvvetleri

d

İki kütle merkezi arasındaki mesafe

FN

Evrensel Çekim Kuvveti


Genel formül ile hesaplanan kuvvet.

FE

İki kütlenin elemanları arasındaki mesafeler yardımıyla hesaplanan kuvvet.
300 900 981,3608966
500 324 333,4265753
1000 81 81,56725952
10000 0,81 0,81005952
100.000 0,0081 0,00810001
1.000.000 0,000081 0,0000810000

10.000.000

 0,0000081 0,0000008100000

100.000.000

 0,00000081 0,0000000081

FN : Evrensel Çekim Kuvveti. Genel formül ile hesaplanan kuvvet.
FE : İki kütlenin elemanları arasındaki mesafeler yardımıyla hesaplanan kuvvet

Tabloda, görüldüğü üzere her iki hesaplama yönteminde FN ve FE kuvvetleri için uzak mesafeler aynı sonucu vermektedir. Gerçekte hiç bir zaman FN = FE olmaz. Fakat gördüğümüz gibi mesafe arttıkça, aradaki fark azalmakta ve virgülden kaç hane sonra eşitliğin bozulduğu gibi önemsiz bir hale dönüşmektedir.

Kütleler arasındaki mesafe azaldıkça tam tersi bir durum söz konusudur. FN ve FE kuvvetleri arasındaki farkın giderek açılmakta olduğunu ve FE kuvvetinin giderek daha büyük değerlere ulaştığını görüyoruz. Doğal olarak bu durumun varlığı Çekim Kuvvetine bakış açımızı değiştirmelidir. Misal olarak, yıldızlara yakın yörüngelerdeki gezegenlerin hareketlerin incelerken FN kuvvetini kullanarak hesaplama yapmak ne derece doğrudur, düşünmek gerekir. Yıldız birleşmelerinde de iş başında olan FE kuvveti olacaktır. Bu tür analizlerde de FN yerine FE kuvvetini dikkate almak gerekir. Terazinin üstüne çıkıp kilomuzu ölçerken de bize etki eden kuvvet FE dir.

Yaptığım modelleme 2 boyutludur: Kütleler için kullandığım 9000 nokta ve
90002 = 81.000.000 işlem adedi ortalama bir fikir vermek için yeterlidir. Çok daha fazla noktayla ve 3 boyutlu modelleme yapılarak çok daha hassas bilgilere ulaşmak kanımca gerçek bir ihtiyaçtır.
Yukarıda size anlattıklarım benim denkleminden çıkardığım sonuçlardır. Evrensel çekim kuvveti denklemi elbette başka bilgilerde içermektedir. Mesela, "Niçin kuvvet uzaklığın karesi ile ters orantılıdır?" Buna bir cevap veremiyorum. "G ile gösterilen Evrensel çekim sabiti nedir?" Buna da cevap veremiyorum. Bir müddet G sabiti üstünde çalışmıştım. Kayda değer bir bilgiye ulaştığımı söyleyemem. Ancak saniye, kütle ve metre tanımlarının tamamen yapay olarak üretildiğini düşünürsek bir takım varsayımlara ulaşabiliyoruz.

Konumuz açısından burada anlatılanlar içinde önemli olan üç detay vardır.
Bu kuvvetlerin etkileri sonsuz mesafelere uzanmaktadır.
Toplam kuvvet elemanlar üzerinden oluşmaktadır.
Bu kuvvetler engel tanımamaktadırlar ve maddenin içinden geçebilmektedirler.
Bunları göstermek istedim. Konumuza dönelim.

Link