22. BOYUT KAYMASI

Birbirine göre hareketli cisimler arasındaki elektromanyetik etkileşimde ortaya çıkan bir başka olay ise Boyut Kaymasıdır. Boyut Kayması Görünür Uzay-Zamanda İmaj Objelerin boyutlarının hareket yönünde kısalması veya uzaması şeklinde kendini gösterir. Yani son derece yaygın, sıradan ve farkına varmasak bile her an etkisinde kaldığımız bir olaydır. Farkına varmamamızın nedeni hız limitlerimizin ışık hızına göre çok küçük olmasıdır.

Boyut Kaymasının oluşum mekanizması esasen oldukça basit mekanik bir altyapıya sahiptir. Bütün cisimler bir hacme sahiptirler, yani üç boyutludurlar, enleri, boyları ve yükseklikleri vardır. Bir cisme ait boyut bilgisini "Görme Olayı" ile birleştirdiğimiz taktirde Boyut Kaymasının nasıl oluştuğunu kolaylıkla anlayabiliriz. Öncelikle gözlemcinin ve Kaynak Objenin birbirine göre hareketsiz olduğu aşağıdaki durumu inceleyerek "Görme Olayı"nın nasıl gerçekleştiğini sırasıyla ele alalım.

Yukarıdaki Figür için olayın akışı:
1) Gözlemci ve Cetvel birbirlerine göre hareketsizdirler. Cetvelin uzak köşesinden (A noktası) bir sinyal (Sinyal1) yayınlanıyor.
2) Sinyal1 Gözlemciye doğru ilerliyor. B noktası ve Sinyal1 gözlemciye eşit uzaklıkta olduğu anda B noktasından ikinci sinyal (Sinyal2) yayınlanıyor. (Eşleşme gerçekleşiyor)
3) Her iki sinyal beraberce gözlemciye doğru ilerliyor.
4) Her iki sinyal gözlemciye eş zamanlı olarak varıyor. Gözlemci kendisine gelen bu bilgi ile cetvelin İmaj Objesini görüyor. İmaj Objenin konumu sinyallerin yayınlandıkları A ve B noktaları tarafından belirlemiş durumdadır. Buradaki örnekte gözlemci ve cetvel birbirlerine göre hareketsiz oldukları için Kaynak Obje ve İmaj Obje aynı koordinatları paylaşmaktadır.

Yukarıdaki figürde görüldüğü gibi İmaj Objenin konumunu bulmak için Kaynak Objenin gözlemciye en uzak ve en yakın noktalarından yayınlanan ve gözlemciye aynı anda varacak iki sinyali (birbirleriyle eşleşmiş iki sinyali) ele aldık. Buradaki örnek için iki sinyal kullanmak yeterlidir, daha kompleks bir olay için daha fazla sinyal kullanmamız gerekirdi.

22.1. BİRBİRİNDEN UZAKLAŞAN CİSİMLER ARASINDAKİ BOYUT KAYMASI

Şimdi cetvelin hareketli olduğu durumu inceleyelim. Aşağıdaki figürde cetvel siyah ok yönünde gitmektedir. Gözlemcinin cetvelin İmaj Objesini nasıl gördüğünü bulmak istiyoruz.

Olay akışını sırasıyla görelim.
1) Cetvel siyah ok yönünde hareket etmektedir. Bu sırada cetvelin gözlemciye en uzak köşesinden (A noktası) bir sinyal (Sinyal1) yayınlanıyor. A noktasını ve gözlemciyi bir doğru ile birleştiriyoruz. Sinyal1 gözlemciye giderken bu doğruyu takip edecektir. 
2) Sinyal1 gözlemciye doğru ilerlerken, cetvel siyah ok yönünde ilerliyor. Sinyal1 ve B noktası gözlemciye eşit uzaklıkta olduğu anda B noktasından ikinci sinyal (Sinyal2) yayınlanıyor (Eşleşme gerçekleşiyor). B noktasını da bir doğru ile gözlemciyle birleştiriyoruz. Sinyal2 bu doğru üzerinden giderek gözlemciye varacaktır.
3) Sinyal1 ve Sinyal2 kendi doğruları üzerinde gözlemciye doğru ilerlerken cetvel de siyah ok yönünde ilerlemeye devam ediyor.
4) Sinyaller gözlemciye eş zamanlı olarak varıyor. Bunun sonucunda gözlemci cetvelin İmaj Objesini görüyor. Gözlemcinin referans sistemine göre İmaj Objenin konumu, sinyallerin yola çıktığı A ve B noktaları arasına yerleşmiş durumda olur. Bu anda Kaynak Obje ve İmaj Objenin konumları farklı yerlerdedir. Figürde İmaj Objenin uzunluğunun Kaynak Objenin uzunluğundan DAHA KISA olduğunu görüyoruz. Görüldüğü üzere cetvelin İmaj Objesi üzerinde Boyut Kayması gerçekleşmiştir.

 

Yukarıdaki figürden yararlanarak Boyut Kaymasının matematiksel eşitliklerini yazalım.
Figürde her iki cisim birbirinden uzaklaşmakta olduğu için, bu matematiği önce uzaklaşan cisimler için ele alacağım.

Figürden yaralanarak aşağıdaki üç eşitliği yazabiliyoruz.
d₀ = c.t₀
d₁ = c.t₁
d₂ = v.t₁
Eşitliklerin açıklaması: Cetvelin X ekseni üzerindeki uzunluğuna d₀ dersek, sinyal bu uzunluğu c hızı ile t₀ = d₀ / c kadar bir zamanda kat edecektir. Dolayısıyla d₀ = c.t₀ dır. Fakat cetvel hareket halinde olduğu için, sinyalin cetvelin diğer ucuna varması daha kısa bir sürede gerçekleşmektedir. Bu süreye t₁ dersek, sinyal bu süre zarfında d₁ = c.t₁ kadar bir mesafe kat eder. Aynı süre zarfında da cetvel X ekseni doğrultusunda d₂ = v.t₁ kadar yol kat edecektir. Elde edilen bu üç eşitlikten hareketle Boyut Kaymasının matematiğine aşağıdaki şekilde ulaşılır.

22.2. BİRBİRİNE YAKLAŞAN CİSİMLER ARASINDAKİ BOYUT KAYMASI

Şimdi de cetvelin gözlemciye doğru yaklaştığı durumu ele alalım. Benzer şekilde Figürü oluşturuyoruz.

Olayın akışını yazıyorum. Cetvelin uzaklaştığı önceki örneğimizdeki olay akışı yazısını fazla değiştirmeden buraya da yazıyorum.

1) Cetvel siyah ok yönünde hareket etmektedir. Bu sırada cetvelin gözlemciye en uzak köşesinden (A noktası) bir sinyal (Sinyal1) yayınlanıyor. A noktasını ve gözlemciyi bir doğru ile birleştiriyoruz. Sinyal1 gözlemciye giderken bu doğruyu takip edecektir. 
2) Sinyal1 gözlemciye doğru ilerlerken, cetvel siyah ok yönünde ilerliyor. Sinyal1 ve B noktası gözlemciye eşit uzaklıkta olduğu anda B noktasından Sinyal2 yayınlanıyor (Eşleşme gerçekleşiyor). B noktasını da bir doğru ile gözlemciyle birleştiriyoruz. Sinyal2 bu doğru üzerinden giderek gözlemciye varacaktır.
3) Sinyal1 ve Sinyal2 kendi doğruları üzerinde gözlemciye doğru ilerlerken cetvel de siyah ok yönünde ilerlemeye devam ediyor.
4) Sinyaller gözlemciye eş zamanlı olarak varıyor. Bunun sonucunda gözlemci cetvelin İmaj Objesini görüyor. Gözlemcinin referans sistemine göre İmaj Objenin konumu, sinyallerin yola çıktığı A ve B noktaları arasına yerleşmiş durumda olur. Bu anda Kaynak Obje ve İmaj Objenin konumları farklı yerlerdedir. Figürde İmaj Objenin uzunluğunun Kaynak Objenin uzunluğundan DAHA UZUN olduğunu görüyoruz. Görüldüğü üzere cetvelin İmaj Objesi üzerinde Boyut Kayması gerçekleşmiştir.

Şimdi gene benzer şekilde figürden yararlanarak birbirine doğru yaklaşan cisimler için boyut kaymasının matematiğini bulalım.

22.3. GENEL BOYUT KAYMASI DENKLEMİ

Birbirinden uzaklaşan ve birbirine yaklaşan cisimler arasındaki Boyut Kayması denklemini aşağıdaki şekilde iki genel denklemle ifade edebiliriz. Soldaki denklem sinyal hızlarıyla, sağdaki denklem dalgaboyu değişimiyle göstermektedir. (c±v) bileşeninde "±" işareti cisimler birbirinden uzaklaşıyorsa "+" değer, yaklaşıyorsa "-" değer alır.

d₀: Kaynak Objenin hareket doğrultusundaki uzunluğu
d₁: İmaj Objenin hareket doğrultusundaki uzunluğu
c : Işık hızı fabrika ayarı veya hedef objeye göre kendisine GELEN sinyalin hızı. 
(c±v) : Kaynak Objeye göre GİDEN sinyalin hızı. 
λ₀: Kaynağın dalgaboyu fabrika ayarı
λ₁: Hedefte ölçülen dalga boyu

22.4. BOYUT KAYMASININ (C+V)(C-V) MATEMATİĞİ İLE OLAN İLİŞKİSİ

Dikkat ettiyseniz hemen önce görmüş olduğumuz örneklerde Boyut Kayması sonucuna (c+v)(c-v) matematiğini kullanmaya gerek duymadan eriştik. Her ne kadar matematiksel eşitliklerde (c+v)(c-v) matematiğinin sonuçları ortaya çıkmışsa da, (c+v)(c-v) matematiği kendisini hep saklamış ve geri planda kalmıştır. Şimdi Boyut Kaymasında (c+v)(c-v) matematiğinin bariz bir şekilde ortaya çıktığı bir durumu anlatmak istiyorum. Aşağıdaki figürü bu amaçla yaptım.

 

1) Gözlemci ve Kaynak Obje birbirinden uzaklaşacak şekilde hareket etmektedirler. Gözlemcinin İmaj Objeyi nerede ve nasıl gördüğünü bulmak istiyoruz.

2) Öncelikle Gözlemciyi hareketsiz bir şekilde kabul edip, Kaynak Objeyi ok yönünde hareket ettiriyoruz. Sinyallerin çıkış noktalarını (Kaynak Koordinatlar) ne kadar fazlalaştırırsak elde edeceğimiz İmaj Objeyi de o derece detaylı elde ederiz. Daha önce gördüğümüz şekilde sinyallerin yayınlanma koordinatlarını kullanarak İmaj Objeyi elde ediyoruz. Burada yaptığımız iş biraz daha ayrıntılı olmakla beraber daha önce yaptığımız iş ile tamamen aynıdır. (c+v)(c-v) matematiğine burada da ihtiyaç yoktur.

3) Ama biz Kaynak Objeyi hareketsiz bırakarak, gözlemciyi hareket ettirmek istiyoruz ve bu durum içinde İmaj Objeyi elde etmek istiyoruz. Bunun için gözlemciyi v hızı ile hareket ettirirken gözlemciye giden sinyallerin hızını da (c+v) olarak değiştirmek zorunda kalırız.

2 ve 3 numaralı figürlerde gözlemciler, İmaj Objeler ve Kaynak Objeler üst üste gelecek şekilde konulduğunda, her iki figür birbiri ile tam olarak çakışmalıdır. Bu da 3 numaralı figür için ancak (c+v)(c-v) matematiğinin kuralları uygulandığında mümkündür.

22.5. BOYUT KAYMASI TABLOSU

Boyut Kaymasının özelliklerini bir tablo içinde size göstermek istedim. Aşağıdaki tablo İmaj Obje üzerindeki boyut değişim miktarlarını gösteren, bizlere teorik temel veren bir tablodur. Tablo eşitliğinden üretilmiştir.

 

Tablonun açıklaması:

"v Hız değeri" satırındaki "+v" değerleri referans sistemlerinin birbirinden uzaklaştığını, "-v" değerleri referans sistemlerinin birbirine yaklaştıklarını göstermektedir. Sıfır noktası referans sistemlerinin birbirlerine göre hareketsiz olduğu durumu temsil eder. Referans sistemleri arasındaki hızı farkını gösteren v değerlerini her iki yönde arttırabiliriz. Bu konuda teorik olarak bir sınır yoktur.

Tabloda görüldüğü gibi referans sistemlerinin birbirinden uzaklaşmaları durumunda İmaj Objenin hareket yönündeki uzunluğu giderek kısalmaktadır. 

Referans sistemleri birbirlerine yaklaşıyorlar ise İmaj Objenin Boyu uzamaktadır. Işık hızına yakın değerlere doğru gidildikçe İmaj Objenin boyu hareket yönünde sonsuza doğru yaklaşır. Eğer birbirlerine doğru Işık hızında yaklaşıyorlar ise İmaj Objenin görüntüsü tanımsız olur. (Cetvel örneğini hatırlayalım, sinyal eşleşmesi gerçekleşmeyeceği için İmaj Obje oluşamaz. A noktasından çıkan sinyal hiç bir şekilde B noktasının hizasına ulaşamaz)

Tablo ilginç bir durumu da gösterir. "İki cisim eğer birbirine doğru ışık hızından daha hızlı bir şekilde birbirine doğru yaklaşıyor ise İmaj Obje nasıl görünür?" sorusuna cevap vermektedir. -c hızı aşıldığı taktirde İmaj Objenin görüntüsü hareket yönünde tersine çevrilmektedir. -2c hızında İmaj Objenin boyu Kaynak Obje ile aynı uzunluktadır ancak İmaj Obje ters görüntü içindedir. -2c hızı da aşılırsa İmaj Obje bu aşamadan sonra yine kısalmaya başlamaktadır.

-c sınırından sonra İmaj Objenin tersine görüntü vermesinin sebebi sinyal eşleşme sırasının değişmesidir. Hatırlarsanız, cetvel örneğinde ilk sinyal A noktasından çıkıyor ve B noktasının hizasına geldiğinde B noktasından ikinci sinyal yola çıkıyordu. Ters imaj oluşurken ilk sinyal B noktasından çıkmakta ve A noktasının hizasına geldiğinde A noktasından çıkan sinyalle eşleşmektedir. Ters imaj oluşumu (c+v)(c-v) matematiğinin gösterdiği matematiksel bir sonuçtur.