13. (c+v)(c-v) MATEMATİĞİNDEKİ "v" DEĞERİ HAKKINDA

(c+v)(c-v) matematiğinde v değeri iki anlam taşır:
İki referans sisteminin birbirlerine göre yaklaşma veya uzaklaşma hızlarıdır.
Işık hızından sapma miktarıdır.

Şimdiye kadar verdiğim örneklerde hareketler hep X ekseni üzerinde gerçekleşiyordu. Bu sebeple referans sistemleri arasındaki "v" hız değerini hesaplamaya gerek görmeden (c+v)(c-v) matematiğinde direk olarak kullanabildik. Ancak bu durum çoğunlukla mümkün olmaz.

Aşağıdaki figürde herhangi bir yönde hareket eden bir referans sistemi için v değerinin nasıl hesaplanacağı anlatılmıştır.

Figürde ayrı üç kare görüyoruz. Her karede uçaklar farklı bir yöne (ok yönünde) gitmektedir. Olayı yerdeki gözlemcinin referans sisteminden inceliyoruz.

Soldaki kareyi anlatıyorum. Uçak B noktasında iken A noktasından gönderilen bir sinyal, uçağa C noktasında varmaktadır. Merkezi A olan ve yarıçapı AB doğrusu olan bir yay çiziyoruz. A noktasını C noktası ile birleştiren ve yayı kesen ikinci bir doğru çiziyoruz. OC mesafesi (c+v) (c-v) matematiğindeki v değerini veren uzunluktur. Neden?

Prensipleri uyguluyoruz. Uçağı B noktasında duruyor kabul edelim. Kendisine A noktasından bir sinyal gönderiliyor. Uçağa göre, sinyalin kendisine gelme hızı c olacağına göre, buradan sinyalin uçağa varma süresini buluruz. Bu süre t_Δ = AB/c olacaktır. Elde ettiğimiz bu _Δt süresi vericinin referans sistemi için de geçerli olacaktır. Ancak dikkat edersek, sinyal yerdeki gözlemciye göre AC doğrusunu takip ederek C noktasında varmaktadır. Buradan yerdeki gözlemciye göre, uçağa giden sinyalin hızını buluruz. Bu hız c' = AC/t_Δ olacaktır.
AC=AO+OC olduğuna göre, sinyalin hızındaki değişim miktarını belirleyen OC mesafesi için bir v hız değeri tanımlayabilir ve OC = v.t_Δ yazabiliriz. AO=AB olduğuna göre AO =c. t_Δ olacaktır. Dolayısıyla;
AC = c . t_Δ + v . t_Δ = t_Δ . (c+v) yazabiliriz. (c+v) yerdeki gözlemciye göre sinyalin hızı olur.

OC mesafesi aynı zamanda iki referans sisteminin t_Δ süresi boyunca birbirinden ne kadar uzaklaştıklarını (veya yakınlaştıklarını) göstermektedir.

Böylelikle "zaman"ı kullanmak suretiyle (c+v)(c-v) matematiğini elde etmiş ve onun doğrulamasını yapmış olduk. v değeri sonuç olarak, iki referans sisteminin birbirlerine göre hızıdır (v) ve aynı zamanda ışık hızındaki değişim miktarıdır (c±v).

Konuyu rahat takip edebilmeniz için aynı figürü bu sayfaya da koydum.

Birazda C noktasından bahsedelim. C noktasının yerini sinyalin yayınlanmasından uçağa varmasına kadar geçen t_Δ süresi belirlemektedir. Uçağın hızına "u" dersek, bu süre zarfında uçak ok yönünde BC = u . t_Δ mesafesini kat edecektir.

13.1. DOPPLER ÜÇGENİ

Dikkat edersek figürdeki ABC üçgeninin çok özel bir üçgen olduğunu görürüz. Bu özel üçgenin adını "Doppler Üçgeni" olarak koydum. Bir "Doppler Üçgeni"nin kenar uzunlukları için sinyalin varış süresi "t_Δ" belirleyicidir.
AB = c . t_Δ
BC = u . t_Δ
AC= (c+v). t_Δ (soldaki figür için)
Tabii olarak O noktasının yeri de çok özeldir. OC = v . t_Δ
Doppler Kayması hesaplamaları bu özel üçgen temel alınarak yapılmalıdır.

Hesapları benzer şekilde en sağdaki figür için yapalım.
AB = c . t_Δ
BC = u . t_Δ
OC = v. t_Δ
AC= c . t_Δ - v. t_Δ = t_Δ . (c-v)
Dolayısıyla, figürün sağındaki uçağa giden sinyalin hızı = c-v olacaktır.

Dikkat edersek,
AB uzunluğu, sinyalin yayınlanma anında, sinyal kaynağı ve sinyalin varış hedefi arasındaki mesafedir.
AC uzunluğu, sinyalin varma anında, sinyal kaynağı ve sinyalin varış hedefi arasındaki mesafedir.
AC= (c±v). t_Δ yazarak hem soldaki ve hem de sağdaki figürü temsil edelim.
AB = c . t_Δ olduğuna göre taraf tarafa bölersek:

elde ederiz.

Bu da bizi çok önemli bir sonuca ulaştırır. Bu eşitliği aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

Sinyalin varma anında iki çerçeve arasındaki mesafe = Sinyalin yayınlanma hızı Sinyalin yayınlanma anında iki çerçeve arasındaki mesafe Işık hızı sabiti

Ancak zaman içinde, yukarıdaki eşitliğin yazım ifadesinde bir eksiklik olduğunu gördüm. Aynı eşitliğin aşağıdaki gibi ifade edilmesinin daha doğru olduğunu düşünüyorum. Bu eşitliklerin Eylemsiz referans sistemleri arasında geçerli olduğunu belirtirim.

Vericiye göre GİDEN sinyalin kat ettiği yol = Vericiye göre GİDEN sinyalin hızı Alıcıya göre GELEN sinyalin kat ettiği yol Alıcıya göre GELEN sinyalin hızı

Aynı figüre devam ediyoruz. Prensiplerle ile düşünüldüğünde eşitlik daha kolay anlaşılır. Figürdeki örneklerden yararlanarak konuşuyorum;

• Vericiye göre GİDEN sinyalin kat ettiği yol : Vericinin referans sistemine göre sinyal AC doğrusunu takip ederek C noktasında uçağa varacaktır. Dolayısıyla, vericinin referans sistemine göre sinyalin kat edeceği yol AC olur.

• Alıcıya göre GELEN sinyalin kat ettiği yol : Prensipleri hatırlayalım. Uçağın B noktasında hareketsiz olduğunu düşünelim, bu taktirde hareket halinde olan verici olacaktır. Verici A noktasından iken sinyali gönderiyor. Bu durumda, uçağın referans sistemine göre sinyal AB doğrusu üzerinden kendisine geliyor olacaktır. Dolayısıyla, uçağın referans sistemine göre sinyalin kat ettiği yol AB olur.

• Vericiye göre GİDEN sinyalin hızı: Sanıyorum ki, bu konuda şimdiye kadar yeterince bilgilendik. Hareketli bir hedefe giden bir sinyalin hızı, sinyali gönderen referans sistemine göre her zaman için "c" den farklıdır. Tek bir istisnai durum vardır. Onu da birazdan göreceğiz.

• Alıcıya göre GELEN sinyalin hızı: Sinyali alan referans sistemine göre kendisine gelen bir sinyalin hızının her zaman için sabit ve "c" ye eşit olduğun da görmüştük.

Aynı figüre devam ediyoruz.

Doppler Kaymasında Maviye Kayma, Ölü Nokta ve Kırmızıya Kayma Nedir?

Bir elektromanyetik dalga hareketli bir hedefe doğru yola çıkmış ise, yayınlanması esnasında fabrika ayarındaki dalgaboyunun değişime uğradığını görmüştük. Dalgaboyunun değişimi aynı zamanda elektromanyetik dalganın enerjisinin değişmesi anlamını taşımaktadır. Maviye Kayma enerjideki artış, Kırmızıya Kayma ise enerjideki azalmadır.

●Kırmızıya Kayma
Figürde soldaki resim. Sinyal dalgaboyunun uzaması şeklinde ortaya çıkar. (c+v) ile temsil edilir. Bu durumda aşağıdaki şartlar oluşmuştur.

• Sinyalin yayınlanma hızı > Işık hızı sabiti
• Vericiye göre GIDEN sinyal hızı > Alıcıya göre GELEN Sinyal hızı

●Ölü Nokta
Figürde ortadaki resim "Ölü Nokta" durumu göstermektedir.
Her iki çerçeve birbirine göre hareket halinde olsa bile Doppler Kaymasının oluşmadığı bir an vardır. Bu durumda sinyal dalgaboyunda değişme olmaz ve aşağıdaki şartlar oluşmuştur.

• AC = AB
• Sinyalin yayınlanma hızı = Işık hızı sabiti
• Vericiye göre GIDEN sinyal hızı = Alıcıya göre GELEN Sinyal hızı = Işık hızı sabiti

● Maviye Kayma

13.2. DOPPLER DÖRTGENİ

Yukarıdaki figürde yerdeki adamın referans sistemine göre, herhangi bir yönde ve hızda hareket eden uçaklar görüyoruz. Figürün solunda ve sağında iki farklı durum temsil edilmiştir.
Figürde sağda uçaklar birbirlerine göre ters yönlerde hareket etmektedirler.

İki uçak arasında Doppler Kaymasının ne şekilde gerçekleştiğini bulalım. Figürde;
A ve C noktaları uçakların birbirlerine sinyal gönderdiği andaki koordinatlardır.
B ve D noktaları sinyallerin uçaklara ulaştığı andaki koordinatlardır.
AB ve CD mesafeleri, sinyallerin ulaşma süresi içinde uçakların kat ettikleri yollardır.
AC mesafesi, alıcılara göre gelen sinyalin kat ettiği mesafedir.
BD mesafesi, vericilere göre giden sinyalin kat ettiği mesafedir.
Sinyalin varma süresi her iki uçak için t_Δ = AC/c olacaktır.

Figürün solundaki resmi ele alalım. ABDC dörtgeninin oluştuğunu görüyoruz. Sinyalin varma süresi "t_Δ" oluşan ABCD dörtgeninin kenar uzunluklarını belirleyen süredir. Bu özel dörtgene "Doppler Dörtgeni" adını verdim.

ABCD Doppler Dörtgeninin kenar uzunlukları :
AB = t_Δ . u₁
CD = t_Δ . u₂
AC = t_Δ . c
BD = t_Δ . (c±v)
u₁ ve u₂ çerçevelerin (uçakların) hızlarıdır.
v sinyal hızındaki değişim miktarıdır. AC>BD ise v eksi, AC<BD ise v artı değer alır.

Figürün sağındaki resimde de ABDC Doppler Dörtgenini görüyoruz. Ancak uçakların ters yönlerde gitmesi sebebiyle iki kenarı üzerine katlanmış durumdadır. Bu dörtgenin kenar uzunlukları için de yukarıdaki eşitlikler aynı şekilde geçerlidir.

Bir olayı dışardan gözlüyorsak ve her iki referans sistemi bize göre hareketli ise Doppler Dörtgeni ile düşünmek gerekir.