13. О ЗНАЧЕНИИ "v" В МАТЕМАТИКЕ (c+v)(c-v)

В математике (c+v)(c-v) значение v имеет два смысла:
Это скорость относительного приближения или удаления двух систем отсчёта.
Это отклонение от скорости света.

В приведённых ранее примерах движения всегда происходили по оси X. По этой причине мы могли напрямую использовать значение скорости "v" в математике (c+v)(c-v) без необходимости его явного расчёта. Однако такая ситуация возможна не всегда.

На следующем рисунке показано, как следует рассчитывать значение v для системы отсчёта, движущейся в любом направлении.

На рисунке представлены три отдельных кадра. В каждом кадре самолёты движутся в разных направлениях (в направлении стрелки). Мы рассматриваем это событие из системы отсчёта наблюдателя на земле.

Объясняю левый кадр. Когда самолёт находится в точке B, сигнал, отправленный из точки A, достигает самолёта в точке C. Рисуем дугу с центром в A и радиусом, равным отрезку AB. Проводим вторую прямую, соединяющую точку A с точкой C и пересекающую дугу. Расстояние OC представляет собой значение v в математике (c+v)(c-v). Почему?

Применяем принципы. Предположим, что самолёт находится в покое в точке B. Ему отправляется сигнал из точки A. Так как для самолёта скорость сигнала, который к нему приходит, равна c, можем определить время, за которое сигнал достигает самолёта. Это время будет t_Δ = AB/c. Полученное t_Δ время также применимо в системе отсчёта передатчика. Однако, если мы внимательно посмотрим, сигнал достигает точки C, следуя траектории AC с точки зрения наблюдателя на земле. Следовательно, согласно наблюдателю на земле, скорость сигнала, направленного к самолёту, будет c' = AC/t_Δ.
Так как AC=AO+OC, можно определить расстояние OC, которое определяет изменение скорости сигнала, как значение скорости v, записав OC = v.t_Δ. Так как AO=AB, мы имеем AO =c. t_Δ. Следовательно;
AC = c . t_Δ + v . t_Δ = t_Δ . (c+v). Это означает, что (c+v) является скоростью сигнала с точки зрения наблюдателя на земле.

Расстояние OC также показывает, насколько два системы отсчёта разошлись (или сблизились) друг с другом за время t_Δ.

Таким образом, используя "время", мы получили и подтвердили математическое выражение (c+v)(c-v). В результате значение v представляет собой относительную скорость между двумя системами отсчёта (v) и в то же время изменение скорости света (c±v).

Чтобы вам было удобнее следить за темой, я включил ту же самую фигуру на этой странице.

Поговорим немного о точке C. Расположение точки C определяется временем t_Δ, прошедшим с момента излучения сигнала до его достижения самолёта. Если обозначить скорость самолёта буквой "u", за это время самолёт пройдёт расстояние BC = u . t_Δ в направлении стрелки.

13.1. ДОПЛЕРОВСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Если внимательно посмотреть, можно увидеть, что треугольник ABC на рисунке — это очень особенный треугольник. Я назвал этот уникальный треугольник "Доплеровский треугольник". Для "Доплеровского треугольника" время прибытия сигнала "t_Δ" определяет длину его сторон.
AB = c . t_Δ
BC = u . t_Δ
AC= (c+v). t_Δ (для левого рисунка)
Также положение точки O является особенным. OC = v . t_Δ
Расчёты Доплеровского смещения должны основываться на этом особом треугольнике.

Выполним расчёты аналогичным образом для крайнего правого рисунка.
AB = c . t_Δ
BC = u . t_Δ
OC = v. t_Δ
AC= c . t_Δ - v. t_Δ = t_Δ . (c-v)
Следовательно, скорость сигнала, направляющегося к самолёту на правом рисунке, будет = c-v.

Если внимательно посмотреть:
Длина AB — это расстояние между источником сигнала и его целью в момент излучения сигнала.
Длина AC — это расстояние между источником сигнала и его целью в момент прибытия сигнала.
Запишем AC= (c±v). t_Δ, чтобы представить как левый, так и правый рисунки.
AB = c . t_Δ, поэтому если разделить обе стороны уравнения:

получаем следующее.

Это приводит нас к очень важному результату. Мы можем выразить это уравнение следующим образом:

Расстояние между двумя кадрами в момент прибытия сигнала = Скорость распространения сигнала Расстояние между двумя кадрами в момент передачи сигнала Постоянная скорость света

Однако со временем я заметил, что в записи приведённого выше уравнения есть недочёт. Я считаю, что правильнее выразить его следующим образом. Подчеркну, что эти уравнения действительны только для инерциальных систем отсчёта.

Пройденное расстояние исходящего сигнала относительно передатчика = Скорость исходящего сигнала относительно передатчика Пройденное расстояние входящего сигнала относительно приемника Скорость входящего сигнала относительно приемника

Продолжаем разбирать ту же фигуру. Если применять принципы, уравнение становится легче для понимания. Основываясь на примерах из рисунка, можно сказать следующее:

• Путь, пройденный ИСХОДЯЩИМ сигналом согласно передатчику: В системе отсчёта передатчика сигнал следует по линии AC и достигает самолёта в точке C. Таким образом, путь, пройденный сигналом согласно передатчику, будет AC.

• Путь, пройденный ВХОДЯЩИМ сигналом согласно приёмнику: Вспомним принципы. Если считать, что самолёт находится в покое в точке B, тогда передатчик будет двигаться. Передатчик излучает сигнал из точки A. В этом случае, согласно системе отсчёта самолёта, сигнал будет приходить по линии AB. Следовательно, путь, пройденный сигналом в системе отсчёта самолёта, будет AB.

• Скорость ИСХОДЯЩЕГО сигнала согласно передатчику: Думаю, что мы уже достаточно изучили этот вопрос. Скорость сигнала, направленного к движущемуся объекту, всегда будет отличаться от "c" в системе отсчёта передатчика. Существует только одно исключение из этого правила, о котором мы скоро поговорим.

• Скорость ВХОДЯЩЕГО сигнала согласно приёмнику: Мы уже видели, что в системе отсчёта приёмника скорость поступающего сигнала всегда постоянна и равна "c".

Продолжаем разбирать ту же фигуру.

Что такое Синий Смещение, Мёртвая Точка и Красное Смещение в Доплеровском
Смещении?

Если электромагнитная волна направляется к движущемуся объекту, её исходная длина волны изменяется в момент излучения, как мы видели ранее. Изменение длины волны также означает изменение энергии электромагнитной волны. Синий Смещение означает увеличение энергии, а Красное Смещение — уменьшение энергии.

● Красное Смещение
Левый рисунок на схеме. Проявляется в виде удлинения длины волны сигнала. Обозначается как (c+v). В этом случае выполняются следующие условия:

● Мёртвая Точка
Средний рисунок на схеме представляет ситуацию "Мёртвая Точка".
Даже если обе системы отсчёта движутся относительно друг друга, есть момент, когда Доплеровское Смещение не происходит. В этом случае длина волны сигнала остаётся неизменной, и выполняются следующие условия:

• AC = AB
• Скорость излучения сигнала = Скорость света (константа)
• Скорость сигнала, УХОДЯЩЕГО от передатчика = Скорость сигнала, ПРИХОДЯЩЕГО к приёмнику = Скорость света (константа)

● Синий Смещение
Правый рисунок на схеме. Проявляется в виде укорочения длины волны сигнала. Обозначается как (c-v). В этом случае выполняются следующие условия:

13.2. ДОПЛЕРОВСКИЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

На рисунке выше показаны самолёты, движущиеся в разных направлениях и с разными скоростями, относительно системы отсчёта наблюдателя на земле. Слева и справа от рисунка представлены две разные ситуации.
На правой стороне рисунка самолёты движутся в противоположных направлениях.

Определим, как возникает Доплеровское Смещение между двумя самолётами. На рисунке:
Точки A и C — это координаты, в момент когда самолёты отправляют сигналы друг другу.
Точки B и D — это координаты, когда сигналы достигают самолётов.
Расстояния AB и CD — это пути, пройденные самолётами за время распространения сигнала.
Расстояние AC — это путь, пройденный сигналом с точки зрения приёмника.
Расстояние BD — это путь, пройденный сигналом с точки зрения передатчика.
Время прибытия сигнала для обоих самолётов будет t_Δ = AC/c.

Рассмотрим изображение слева. Мы видим, что образуется четырёхугольник ABDC. Время прибытия сигнала "t_Δ" определяет длины сторон четырёхугольника ABCD. Этот особый четырёхугольник я назвал "Доплеровский Четырёхугольник".

Длины сторон Доплеровского Четырёхугольника ABCD:
AB = t_Δ . u₁
CD = t_Δ . u₂
AC = t_Δ . c
BD = t_Δ . (c±v)
u₁ и u₂ — это скорости самолётов (систем отсчёта).
v — это изменение скорости сигнала. Если AC>BD, то v отрицательно; если AC<BD, то v положительно.

На правом изображении мы также видим Доплеровский Четырёхугольник ABDC. Однако из-за того, что самолёты движутся в противоположных направлениях, он складывается по двум сторонам. Для этого четырёхугольника применимы те же уравнения, что и выше.

Если мы наблюдаем за событием извне и обе системы отсчёта движутся относительно нас, то необходимо учитывать Доплеровский Четырёхугольник.