DERIVACIÓN MATEMÁTICA
DE LAS ECUACIONES DEL DESPLAZAMIENTO DOPPLER

Noviembre 2018

Han Erim

Ninguna onda electromagnética, incluidos los fotones, se emite instantáneamente. Para su emisión, es necesario un cierto tiempo. Además, las ondas electromagnéticas tienen longitud, y para describirlas, utilizamos su longitud de onda. Basándonos en estas dos propiedades de las ondas electromagnéticas — la necesidad de un tiempo de emisión y su longitud de onda — es posible derivar matemáticamente la ecuación del Desplazamiento Doppler. En esta sección, les mostraré el método.

DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO DOPPLER
PARA MARCOS QUE SE ALEJAN

En la figura se muestra cómo un avión emite una onda electromagnética mientras se encuentra entre los puntos A y B. El punto A es la posición donde comienza la emisión de la onda, y el punto B es la posición donde finaliza la emisión de la onda. Como se ve en la figura, el avión ha transmitido un solo ciclo de onda.

 

 

En la figura se ha utilizado un Triángulo Doppler especial. Supongamos que el tiempo de emisión de la señal por parte del avión es "t₀". Utilizaremos este parámetro para determinar las longitudes de los lados del Triángulo Doppler. 

Primero, calculemos la longitud de onda normal de la señal transmitida:


(!..) No asumas que la longitud de onda de la señal es igual a la distancia d₂. Déjame explicarlo: si tomas un imán y lo mueves de un lado a otro de tu cuerpo en forma de "S" durante un segundo, la longitud de la onda electromagnética que generarás será de trescientos mil kilómetros.

Dado que el avión ha enviado solo un ciclo de onda, en el Triángulo Doppler seleccionamos la distancia AO, es decir, la longitud d₁, igual a la longitud de onda.

Calculemos el tiempo de llegada del inicio de la onda al observador:

Calculemos el tiempo de llegada del final de la onda al observador:


Calculemos la diferencia entre los tiempos de llegada:

Si el avión y el observador estuvieran en reposo relativo entre sí, el observador recibiría el ciclo de onda completo en t₀. Pero dado que se están moviendo uno con respecto al otro, ¿en cuánto tiempo recibe el observador el ciclo completo de la onda? 

La ecuación anterior nos da la longitud de onda de la señal que llega al observador:

También podemos escribir esta expresión de la siguiente manera:

Ahora, utilizando las propiedades del Triángulo Doppler, podemos escribir las ecuaciones.
Primero, escribamos las ecuaciones del Triángulo Doppler para el triángulo OAB (t_Δ= t₀):

Reescribamos las longitudes d₁ y d₃ en términos de las longitudes de onda:

Dividamos ambos lados de la ecuación:

Aquí llegamos al resultado final. Esta ecuación muestra el cambio en la longitud de onda cuando los objetos se alejan entre sí.

DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO DOPPLER,
CUANDO LOS OBJETOS SE ACERCAN

Los cálculos aquí son exactamente los mismos que para el caso de (c+v). Dado que la similitud es muy alta, no vi necesario detallarlos. Sin embargo, la distancia OB ha cambiado. 
, por lo que en los cálculos siguientes los signos de suma y resta se invierten.

En el siguiente paso, la longitud de onda de la señal recibida por el observador es:
.  
Al sustituir los valores del Triángulo Doppler, obtenemos:
.

¿Qué es el desplazamiento Doppler relativista?

Aprovechando la oportunidad, quería abordar este tema. Como resultado de la Teoría de la Relatividad, se han introducido artificialmente muchas ecuaciones en la física que siguen utilizándose hoy en día. La ecuación del Doppler relativista es una de ellas. El Doppler relativista es un concepto ficticio, completamente inventado y sin relación alguna con la realidad. La Ley de Alice ha eliminado tanto la Teoría de la Relatividad como su consecuencia, el concepto de Doppler relativista.