DOPPLER DÖRTGENİ

Doppler Dörtgeni: Kenar uzunlukları sinyalin varış zamanı ile belirlenen çok özel dörtgenlerdir.

Doppler Dörtgenleri her ikiside hareketl halinde olan iki referans sistemi arasında (c+v)(c-v) matematiğinin nasıl gerçekleştiğini anlamak için kullanılır. Sinyalin yayınlanma ve varma anında referans sistemlerinin konumları dörtgenin köşe noktalarını oluşturur.

AÇIKLAMA:

Figürde farklı yönlerde ve farklı hızlarda giden iki uçak görüyoruz. Uçaklar B ve C noktalarından karşılıklı olarak sinyal gönderiyorlar. Uçaklar A ve C noktalarına vardıklarında sinyaller de uçaklara eşzamanlı olarak varıyor.

ABDC noktalarını birleştiren doğrular bir Doppler Dörtgeni teşkil etmiş durumdadır.

Öncelikle Yardımcı Çizgiler butonunu kullanarak Kırmızı ve Mavi yardımcı çizgileri saklayalım. Böylelikle dörtgen daha net ortaya çıkacaktır. Dörtgenin kenar uzunluklarının birbirinden farklı olduğunu görüyoruz. Ortaya bir paralelkenar dörtgende meydana gelebilirdi, ancak uçakların gidiş yönlerin ve hızlarının farklı olması, oluşan dörtgenin yamuk dörtgen olmasına sebep olmuştur.

Şimdi kaydırma çubuğunu kullanarak uçakların ve sinyallerin hareketini gözlemleyelim.Olayın akışı şu şekildedir:

Olay başlangıcında, B ve C noktalarında bulunan uçaklar karşılıklı olarak birbirlerine bir sinyal gönderiyorlar.
Sinyaller CA (d₁) ve BD (d₃) doğrularını kat ederken üstteki uçak CD(d₂) ve alttaki uçak BA (d₀) doğrularını kat ediyorlar.
Üstteki uçak D noktasına vardığında sinyal ona ulaşıyor. Alttaki uçak A noktasına vardığında sinyal ona ulaşıyor.

Şimdi (c+v)(c+v) Matematiğine geçiyoruz.

Sinyallerin CA (d₁) ve BD (d₃) doğrularını kat ettiği doğrudur, ancak bu yalnızca olayı dışardan izleyen yerdeki gözlemci açısından doğrudur. Şimdi yardımcı çizgileri tekrar görünür hale getirerek olayı tekrar izleyelim.

Kırmızı ve Mavi renkli çizgilerin uçakların referans sistemlerine bağlı olduklarını görüyoruz. İlave olarak, Kırmızı renkli doğruların d₄ doğrusuna paralel ve onunla eşit uzunlukta olduğunu ve Mavi renkli doğruların ise d₅ doğrusuna paralel ve onunla eşit uzunlukta olduğunu görüyoruz.

Figüre şimdi tekrar bakalım ve olayın akışını tekrar yazalım:
Uçakların referans sistemlerine göre;

Uçağa bağlı Kırmızı renkli çizgi kendisine doğru gelen sinyalin geliş doğrultusunu göstermektedir.
Uçağa bağlı Mavi renkli çizgi, uçağın gönderdiği sinyalin gidiş doğrultusunu göstermektedir.
Uçağa doğru gelen sinyal, kendisine ait olan Kırmızı renkli doğruyu c hızıyla kat etmektedir. (GELEN sinyal hızı daima c dir). Dolayısıyla sinyalin varış zamanını belirleyen doğru "d₄" doğrusudur. d₄ doğrusu sinyallerin gönderilme anında iki uçak arasındaki mesafeyi temsil eden doğrudur. Sinyalin varış zamanı: t_Δ=d₄/c
Uçaktan gönderilen sinyal kendisine ait olan Mavi renkli doğruyu takip ederek diğer uçağa varmaktadır. Sinyalin varış süresi t_Δ=d₄/c olduğu için, uçağın referans sistemine göre mavi renkli doğru üzerinde diğer uçağa doğru giden sinyalin hızı d₅/t_Δ=(c±v) olur. d₅ doğrusu sinyallerin varma anında iki uçak arasındaki mesafeyi temsil etmektedir.

(c±v) ifadesindeki "±" işareti:

Eğer d₅<d₄ ise "v" eksi değer alır : (c-v)
Eğer d₅>d₄ ise "v" artı değer alır : (c+v)

Sinyalin varış süresi içinde uçakların kat edecekleri mesafe

d₂=u₂.t_Δ
d₀=u₁.t_Δ

Şimdi, Yerdeki gözlemciye göre sinyal hızlarını yazabiliriz:
Üstteki uçaktan alttaki uçağa gönderilen sinyalin hızı:

(c±v₁)=d₁/t_Δ
Eğer d₄<d₁ ise "v₁" artı değer alır: (c+v₁)
Eğer d₄>d₁ ise "v₁" eksi değer alır: (c-v₁)

Alttaki uçaktan üstteki uçağa gönderilen sinyalin hızı:

(c±v₂)=d₃/t_Δ
Eğer d₄<d₃ ise "v₂" artı değer alır: (c+v₂)
Eğer d₄>d₃ ise "v₂" eksi değer alır: (c-v₂)

Görüldüğü gibi üç farklı v değeri elde ettik.
Uçakların referans sistemlerine göre ve gözlemcinin referans sistemine göre.
Sonuç olarak yukarıdaki figürde görülen Doppler Dörtgeni için aşağıdaki eşitlikler vardır.

Sinyalin varma zamanı:

t_Δ=d₁/c

Kenar uzunlukları:

d₀=u₁.t_Δ
d₁=(c±v₁).t_Δ
d₂=u₂.t_Δ
d₃=(c±v₂).t_Δ

Köşegenler

d₄=c.t_Δ
d₅=(c±v).t_Δ

AÇIKLAMA:

Burada farklı doğrultularda hareket eden iki uçak ve bir başka Doppler Dörtgeni örneği görüyoruz. Benzer hesaplamaları bu dörtgen içinde yapabiliriz. Ama dikkat edelim, yukarıdaki hesaplamalar buradaki Doppler Dörtgeni için geçerli değildir.

Yardımcı çizgiler kullanılarak analiz yapalım. Buradaki figürde görüyoruz ki sinyalin varma zamanını belirleyen doğru "d₁" doğrusudur. Bu noktadan hareketle diğer doğruları hesaplayabiliriz.

Sinyalin varma zamanı:

t_Δ=d₁/c

Kenar uzunlukları:

d₀=u₁.t_Δ
d₁=c.t_Δ
d₂=u₂.t_Δ
d₃=(c±v).t_Δ

Köşegenler

d₄=(c±v₁).t_Δ
d₅=(c±v₂).t_Δ

(c±v): Uçağa göre, diğer uçağa gönderdiği sinyalin hızı.
(c±v₁): Yerdeki gözlemciye göre alttaki uçağa doğru giden sinyalin hızı.
(c±v₂): Yerdeki gözlemciye göre üstteki uçağa doğru giden sinyalin hızı.

Genel bir kural olarak;
Sinyalin yayınlanma anında, iki referans sisteminin mevcut konumlarını birleştiren doğru, sinyalin varma süresini belirleyen doğru olur. Bu doğrunun her iki referans sistemi için geçerli ve tek olması sebebiyle, sinyalin varma süresi her iki referans sistemi için de aynı olur. Sinyal bu doğruya eşit uzunluktaki bir mesafeyi c hızıyla kat ederek hedefine ulaşmaktadır. Bu sebeple, varış süresi referans sistemlerinin hız ve yönlerinden bağımsızdır.

Sinyalin hangi noktada varacağını, referans sisteminin hızı, yönü ve sinyalin varış süresi beraberce belirlemektedir.

Sinyalin varış noktalarını birleştiren doğru ile sinyalin varma süresini kullanarak, sinyali gönderen referans sistemine göre; diğer referans sistemine gönderdiği sinyalin hızını bulabiliriz. Bu değer her iki referans sistemi içinde aynı olacaktır.

Buradaki animasyonlarda bu konu anlatılmış ve yardımcı doğrular kullanılarak olayın nasıl gerçekleştiği detaylı olarak açıklanmıştır.