ДОПЛЕРОВСКИЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Доплеровский четырехугольник: Очень особенные четырехугольники, определяемые временем прихода сигнала.

Доплеровские четырехугольники используются для понимания, как математика (c+v)(c-v) реализуется между двумя движущимися системами отсчета. Позиции систем отсчета в момент излучения и приема сигнала образуют вершины четырехугольника.

ОБЪЯСНЕНИЕ:

На рисунке показаны два самолета, движущихся в разных направлениях и с разными скоростями. Самолеты отправляют сигналы из точек B и C соответственно. Когда самолеты достигают точек A и C, сигналы также одновременно достигают самолетов.

Линии, соединяющие точки ABDC, образуют доплеровский четырехугольник.

Сначала давайте используем кнопку Вспомогательные линии, чтобы скрыть красные и синие вспомогательные линии. Это сделает четырехугольник более четким. Мы видим, что длины сторон четырехугольника отличаются друг от друга. Также мог быть образован параллелограмм, но из-за различных направлений и скоростей самолетов четырехугольник стал трапецией.

Теперь давайте используем ползунок, чтобы наблюдать движение самолетов и сигналов. Последовательность событий такова:

• В начале события самолеты в точках B и C отправляют сигналы друг другу.
• Пока сигналы движутся по линиям CA (d₁) и BD (d₃), верхний самолет движется по линии CD (d₂), а нижний самолет — по линии BA (d₀).
• Когда верхний самолет достигает точки D, сигнал достигает его. Когда нижний самолет достигает точки A, сигнал достигает его.

Теперь перейдем к математике (c+v)(c+v).

Верно, что сигналы движутся по линиям CA (d₁) и BD (d₃), но это верно только с точки зрения наземного наблюдателя, наблюдающего событие. Теперь давайте снова сделаем вспомогательные линии видимыми и пересмотрим событие.

Мы видим, что красные и синие линии привязаны к системам отсчета самолетов. Кроме того, красные линии параллельны линии "d₄" и равны ей по длине, а синие линии параллельны линии "d₅" и равны ей по длине.

Давайте снова посмотрим на рисунок и перепишем последовательность событий в системах отсчета самолетов:

• Красная линия, привязанная к самолету, указывает направление прихода входящего сигнала.
• Синяя линия, привязанная к самолету, указывает направление отправленного самолетом сигнала.
• Входящий сигнал движется по красной линии со скоростью c (скорость входящих сигналов всегда равна c). Следовательно, линия "d₄" определяет время прихода сигнала. Линия "d₄" представляет расстояние между двумя самолетами в момент излучения сигнала. Время прихода сигнала: t_Δ=d₄/c
• Сигнал, отправленный самолетом, следует по синей линии и достигает другого самолета. Поскольку время прихода сигнала t_Δ=d₄/c, скорость сигнала, движущегося по синей линии, равна d₅/t_Δ=(c±v). Линия "d₅" представляет расстояние между двумя самолетами в момент прихода сигнала.

Знак "±" в (c±v) означает:

Расстояние, которое самолеты преодолеют за время прихода сигнала:

Теперь мы можем записать скорости сигналов с точки зрения наземного наблюдателя:
Скорость сигнала, отправленного с верхнего самолета на нижний:

Скорость сигнала, отправленного с нижнего самолета на верхний:

Как видно, получены три разных значения v.
В системах отсчета самолетов и системе отсчета наблюдателя.
В результате для доплеровского четырехугольника, показанного на рисунке выше, применимы следующие уравнения:

Время прихода сигнала:

Длины сторон:

Диагонали

ОБЪЯСНЕНИЕ:

Здесь мы видим еще один пример доплеровского четырехугольника с двумя самолетами, движущимися в разных направлениях. Подобные расчеты можно сделать в этом четырехугольнике. Но имейте в виду, что приведенные выше расчеты не применимы к этому доплеровскому четырехугольнику.

Давайте проведем анализ, используя вспомогательные линии. На этом рисунке мы видим, что линия "d₁" определяет время прихода сигнала. Исходя из этой точки, мы можем рассчитать другие линии.

Время прихода сигнала:

Длины сторон:

Диагонали

(c±v): Скорость сигнала, отправленного другому самолету, относительно самолета.
(c±v₁): Скорость сигнала, направленного к нижнему самолету, относительно наземного наблюдателя.
(c±v₂): Скорость сигнала, направленного к верхнему самолету, относительно наземного наблюдателя.

Как общее правило;
Линия, соединяющая текущие позиции двух систем отсчета в момент излучения сигнала, определяет время прихода сигнала. Поскольку эта линия является единственной и применимой для обеих систем отсчета, время прихода сигнала одинаково для обеих систем отсчета. Сигнал достигает своей цели, проходя расстояние, равное этой линии, со скоростью c. Поэтому время прихода не зависит от скоростей и направлений систем отсчета.

Точка, в которой сигнал прибудет, определяется скоростью, направлением системы отсчета и временем прихода сигнала.

Соединив точки прихода сигнала линией и используя время прихода сигнала, мы можем определить скорость сигнала, отправленного системой отсчета другой системе отсчета. Это значение будет одинаковым для обеих систем отсчета.

Здесь анимации объясняют эту тему, подробно показывая, как происходит событие, с использованием вспомогательных линий.