Uzunluk ve Boyut Deformasyonu

Han Erim

7 Mayıs 2012

UZUNLUK VE BOYUT DEFORMASYONU

Her zaman için cisimlerin kendilerini değil onların imaj görüntülerini görürüz. İmaj ve Kaynak bölümünde bir cismin kendisi ile imaj görüntüsünün farklı koordinatlarda bulunabileceğini görmüştük. Görüntüyü bize ulaştıran elektromanyetik dalgalar yani ışıktır. Referans sistemleri arasında bir hız farkı var ise görüntüyü taşıyan elektromanyetik dalgalar üzerinde bir deformasyon gerçekleşir. Buna bağlı olarak cismin imaj görüntüsü üzerinde de bir deformasyon oluşur ve cisimler olduklarından daha kısa veya daha uzun veya eğilmiş şekillerde gözükebilirler. Uzunluk deformasyonu cisim üzerinde değil, her zaman için imaj görüntü üzerinde oluşur. Uzunluk deformasyonu aynı zamanda boyut deformasyonu anlamını da taşır. Hareket eden bir cisim için etki, genel perspektifte uzayın sıkışması veya genişlemesi şeklinde algılanır. Uzunluk deformasyonu ilginç olduğu kadar aynı zamanda zevkli bir konudur.

İmaj ve Kaynak bölümünde ağırlıklı olarak bir cismin imaj görüntüsünün nerede göründüğü konusu ele alınmıştı. O bölümün sonuçlarını burada cisimlerin boyutlarıyla ilişkilendireceğiz ve böylelikle uzunluk deformasyonun nasıl oluştuğu göreceğiz.

Uzunluk deformasyonu diğer relativite etkileri gibi (c+v)(c-v) matematiği ile yakından ilişkilidir ve onunla tanımlanır. Bütün relativite etkileri gibi birbirine göre hareketli frameler arasında gerçekleşir.

Görme olayının prensipleri

Uzunluk deformasyonunu tanımlayabilmek için öncelikle görme olayının aşamalarını ele alalım. Gözümüzü bir kamera olarak düşünelim. Gözümüz tek bir fotoğraf karesi çekmiş olsun. Fotoğrafın çekildiği anı görme anı olarak adlandıralım ve bu fotoğraf karesini inceleyelim. Fotoğrafa baktığımızda doğal olarak pek çok cisim görürüz. Eğer bir ağacın altından gökyüzünün fotoğrafını çekmiş olsaydık fotoğrafta hem yıldızları hem de ağacın dallarını görecektik. Aynı fotoğraf üzerinde çok değişik yerlerden ve zamanlardan gelen ışıkların izleri vardır. Yıldızlardan gelen elektromanyetik dalgalar milyonlarca yıl evvel yola çıkmış iken, ağacın dallarından gelenler sadece bir kaç nano saniye önce yola çıkmıştır. Bu durum bize şöyle bir bilgi verir; elektromanyetik dalgalar bir grup oluşturarak gözümüze o şekilde varmaktadır. Bir grubun içerisinde çeşitli cisimlerden ve çeşitli zamanlardan yola çıkmış sayısız miktarda elektromanyetik dalga vardır. Doğal olarak gözümüze ulaşan grup bize ne tür bir bilgi getirmişse, göreceğimiz şey de o olur.

Uzunluk deformasyonu elektromanyetik dalgalar arasındaki bu gruplaşmanın ne şekilde oluştuğu konusuyla yakından ilgilidir. Grubun oluşum kuralları boy deformasyonu konusunun temel bilgisidir.

Figür 1, Bir elektromanyetik dalga grubu nasıl oluşur:

Elektromanyetik dalgaların varma hedeflerine doğru daima "c" hızıyla geldiğini görmüştük. Hayalinizde yüzeyi ışıltılı, içi saydam ve çok büyük bir küre hayal edin. Kürenin içinde olduğunuzu ve kürenin merkezinin gözleriniz olduğunu düşünün. Şimdi kürenin yarıçapının ışık hızıyla küçüldüğünü ve size doğru geldiğini hayal edin. Küre küçülürken etrafınızdaki bir sürü cismin içinden geçecektir. Kürenin yüzeyi ile temas eden cisimlerin, kürenin yüzeyine kendilerine ait elektromanyetik dalgalar yapıştırdığını hayal edin. Yukarıda bahsettiğim grup işte bu kürenin yüzeyi olur. Küre tamamen küçülüp gözümüzün içine girdiğinde gözümüz kendisine varan bu grubun içindeki elektromanyetik dalgaları algılayacak ve bu grubun kendisine getirdiği görüntüyü görecektir.

Figür 2 Hareketli frame'lerde sinyal grubunun oluşum kuralı.

Kolaylık olması açısından bundan sonra elektromanyetik dalgaları sinyal olarak adlandıracağım.

Buradaki örnekte gözlemciye göre hareket halinde olan bir araba vardır. Arabanın hareket etmesi durumunda arabaya ait sinyal grubunun oluşma süresi değişir. Arabaya ait sinyal grubu, araba gözlemciden uzaklaşırken daha kısa bir zamanda, araba gözlemciye doğru yaklaşırken daha uzun bir zamanda oluşur. Küre yüzeyinin hızının gözlemciye göre olduğuna dikkat edelim. Küre yüzeyinin hızı arabaya göre c değildir, arabanın gidiş doğrultusuna göre (c+v) veya (c-v) olacaktır. Dolayısıyla, bir cisme ait sinyal grubunun oluşum süresi cismin imaj görüntüsü üzerindeki deformasyon miktarını belirler.

Bir cismin imaj görüntüsünün (hayaletinin) nerede görüneceği konusunu İmaj ve Kaynak bölümünde görmüştük. Gözlemcinin referans sistemine göre; sinyalin yayınlandığı koordinat, gözlemcinin için cismin imajının (hayaletinin) görüneceği koordinat olmakta idi. Burada arabanın her noktası için bu kuralı uyguluyoruz. Görüldüğü gibi sonuçta araba hareket yönüne ve hızına bağlı olarak gözlemciye olduğundan kısa veya uzun gözükecektir.

Burada gözlemci hareketsiz olduğu için (c+v)(c-v) matematiği biraz geri planda kaldı (araba tarafında).

Figür 3 Bir önceki örneğimizde gözlemci hareketsiz, araba hareketli idi. Şimdi gözlemcinin hareketli ve arabanın hareketsiz olduğu durumunu ele alalım.

Genel kural olarak, iki referans sistemi birbirine göre hareket halindedir ve hangisinin hareket ettiğinin bir önemi yoktur. Gözlemci açısından bir önceki sayfada gerçekleşen sonuç burada da aynı şekilde gerçekleşir. Ama burada olayı açıklayabilmek için (c+v)(c-v) matematiğine ve alan kavramından yararlanmaya ihtiyacımız vardır. Hareketli bir frame için bu tür analizler yapılırken iki hususa özellikle dikkat edilmesi gerekir.

1) Sinyal gözlemciye geldiği için sinyal grubuna ait çemberin merkezi gözlemcidir. Gözlemci hareket halinde olduğu için çember gözlemci ile beraber hareket edecektir. Çünkü, sinyaller gözlemcinin alanı içinde gitmekte ve gözlemciye göre c hızıyla gelmektedir.

2) Sinyallerin yayınlandığı koordinatlar gözlemcinin referans sistemine göre tanımlıdır. Bu noktalar gözlemcinin alanı üzerindeki noktalardır. Bu nedenle bu noktalar da gözlemci ile beraber hareket edeceklerdir.

Sinyallerin gözlemcinin alanına giriş yaptığı koordinatlar arabanın imajının görüneceği koordinatlar olur. Gözlemci arabanın imajını, kendisine göre tanımlanmış olan bu koordinatların içinde görecektir. Sonuçta bir önceki sayfada elde ettiğimiz aynı sonucu elde ederiz. Bu figür ile bir önceki sayfadaki figür birbirine tam olarak denktir.

Figür 4, UZUNLUK DEFORMASYONUNUN MATEMATİĞİ

Burada uzunluk deformasyonun nasıl hesap edileceğini görüyoruz.

Radio Buton1: Gözlemci şehre doğru yaklaşırken gerçekleşen durum: Eğer gözlemci hareket etmeseydi sağ taraftan yola çıkan sinyal şehrin d1 uzunluğunu c hızı ile t1 zamanda kat edecekti. (d1=c.t1)

Ancak, gözlemcinin hareket yönü şehre doğru olduğu için, sinyalin şehri boydan boya kat edebilmesi için d1 yerine d3 mesafesini kat etmesi gerekmiştir. (Çünkü sinyal gözlemcinin alanında gitmektedir). Alan üzerindeki d3 mesafesini c hızı ile t2 zamanda kat edecektir. (d3=c.t2)

Sinyalin kendisine varma süresi olan t2 süresi boyunca gözlemci v hızı ile d2 kadar mesafe kat etmiştir. (d2=v.t2)

Bu bilgilerden hareketle uzunluk deformasyonunun ne oranda gerçekleştiğini hesap edebiliriz. Birbirine yaklaşan frame'ler için uzunluk deformasyonu aşağıdaki eşitlikle ifade bulur:

Gözlemlenen boyut = Orijinal boyut · c / (c - v)

Radio Buton2: Gözlemci şehirden uzaklaşırken oluşan durum:
Eğer gözlemci hareket etmeseydi sağ taraftan yola çıkan sinyal şehrin d1 uzunluğunu c hızı ile t1 zamanda kat edecekti. (d1=c.t1)

Ancak gözlemci şehirden uzaklaştığı için, sinyalin şehri boydan boya kat edebilmesi için daha kısa olan d3 mesafesini c hızı ile t2 süresinde kat etmesi yeterli olmuştur. Çünkü sinyal gözlemcinin alanı içinde gitmektedir. (d3=c.t2)

Sinyalin kendisine varma süresi olan t2 süresi boyunca gözlemci v hızı ile d2 kadar mesafe kat etmiştir. (d2=v.t2)

Buradan benzer şekilde uzunluk deformasyonunu hesap edebiliriz.

Uzunluk deformasyonuna ait genel eşitlik:
Gözlemlenen boyut = Orijinal boyut · c / (c ± v)
Frameler birbirine yaklaşıyorsa işaret (−),  uzaklaşıyorsa işaret (+) olur.

(c+v)(c-v) matematiği relativite etkilerinin tümünde olduğu gibi uzunluk deformasyonu için de belirleyicidir.

Figür 5, EŞİTLİK

Bu sayfada framelerin hareket yönlerine göre uzunluk deformasyonun ne şekilde oluştuğunu bir kez daha görüyoruz. Animasyonda görüldüğü gibi gözlemcinin hareket etmesi ve cetvelin durması ile cetvelin hareket etmesi ve gözlemcinin durması tamamen aynı şekilde sonuçlanmaktadır.

Figür 6, X Ekseni Üzerindeki Uzunluk Deformasyonu

Çarpı (cross) işaretlerinin dağılımı görüntü üzerindeki deformasyonun ne şekilde gerçekleştiğini bize göstermektedir.

Figür 7, Y Ekseni Üzerindeki Uzunluk Deformasyonu

Uzunluk deformasyonu hareket yönünde (buna X ekseni diyelim) gerçekleşmesine rağmen, Y ekseni üzerinde de bir etkiye sahiptir. Burada yere dik ve uzun bir cisim üzerinde oluşan deformasyonu görüyoruz.

Figür 8, Dönme Hareketinde Oluşan Deformasyon

Dönen cisimlerde deformasyonunun nasıl gerçekleşeceğini çarpı işaretlerinin dağılımına bakarak anlayabiliyoruz.

Uzunluk Deformasyonu Üzerine

Burada frameler arasındaki hız farkının uzunluk deformasyonuna nasıl sebep olduğunu gördük ve temel bir bilgilenme yaptık. Bu konu elbette ki bu kadarla sınırlı değildir. Uzunluk deformasyonun sonucu sayılabilecek çok sayıda konu bulabilir ve çok ilginç sonuçlar elde edebiliriz.

Uzunluk deformasyonu relativite etkilerinin önemli bir parçasıdır. Evreni gördüğümüz şekilde algıladığımız için boy deformasyonu aslında nasıl bir ortam içinde yaşadığımızı belirleyen bir faktördür. Tabi ki bu etkiyi bariz bir şekilde hissedebilmek için gerçekten çok hızlı olmak gerekir. Kim bilir belki bir gün ışık hızına yakın hızlarda seyahat eder ve bu etkiyi gözlerimizle görürüz. Burada yalnızca onun oluşum prensiplerini konuştuk. Bilim adamları kendi çalışma alanlarında bu konunun hangi hızlardan sonra kendileri için önem taşıyacağına kendileri karar vereceklerdir.

Belki bu etkiyi yakın bir zamanda filmlerde ve bilgisayar oyunlarında aslına sadık bir şekilde yapılmış olarak görebiliriz. Hoş olurdu doğrusu.